- •8.1 Вступ до кінематики
- •8.2 Способи опису руху точки
- •8.3. Похідна векторної функції за скалярним аргументом
- •8.4. Швидкість точки
- •8.4.1. Векторний спосіб визначення швидкості. Годограф швидкості
- •8.4.2. Координатний спосіб визначення швидкості
- •8.4.3. Натуральний спосіб визначення швидкості
- •8.5. Прискорення точки
- •8.5.1 Векторний спосіб визначення прискорення
- •8.5.2. Координатний спосіб визначення прискорення
- •8.5.3 Натуральний спосіб визначення прискорення
- •8.5.3.1 Деякі відомості з диференціальної геометрії
- •8.3.2. Розкладання вектора прискорення точки за осями натурального тригранника (нормальна і дотична складові прискорення)
- •8.6. Окремі випадки руху точки при натуральному способі опису руху
- •8.6.1. Рівнозмінний рух точки
- •8.6.2 Прямолінійний рух точки
- •8.7. Методичні вказівки до розв'язання задач
8.3.2. Розкладання вектора прискорення точки за осями натурального тригранника (нормальна і дотична складові прискорення)
Вектор швидкості може бути представленим у вигляді
,
де - одиничний вектор дотичної, направлений в сторону додатного відліку дуги; - проекція швидкості на напрям .
На основі виразу (8.32) маємо:
(8.44)
Подамо похідну у вигляді:
(8.45)
Підставивши (8.45) в (8.44), одержимо:
(8.46)
оскільки
Визначимо величину і напрямок вектора . Вектор перпендикулярний вектору . Оскільки похідна вектора постійної довжини перпендикулярна вектору. Отже, вектор направлений по якійсь нормалі.
Нехай в момент часу t точка перебуває в положенні М на траєкторії, а в момент - в положенні М1 , переносячи вектор в точку М . знайдемо зміну вектора за проміжок часу
Вектор при русі точки в напрямку додатного відліку дуги направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 8.19,а), а при русі точки в бік від'ємного відліку дуги - направлений в бік випуклості траєкторії (рис. 8.19,6).
Рис. 8.19, а
Рис. 8.19, б
Вектор буде завжди направлений в бік ввігнутості траєкторії (рис. 1.19, а і б), тому що при вектор направлений протилежно вектору, привін направлений в той самий бік, що і вектор. Вектор лежить в площині, що проходить через точку М і вектори і (площина МАВ ).
Отже, вектор лежить в стичній площині, оскільки при площина МАВ збігається з стичною площиною в точці М .
Таким чином, вектор лежить в стичній площині, направлений в бік ввігнутості траєкторії, перпендикулярний до , отже, він направлений по головній нормалі до центра кривини.
Знайдемо тепер величину . Трикутник АМВ рівнобічний (рис. 8.19,а), отже,
або користуючись рівняннями (8.43) і (1.44). одержимо:
Враховуючи, що одиничний вектор головної нормалі, будемо мати:
і, отже
(8.47)
З цієї формули випливає, що вектор прискорення лежить в стичній площині.
Складові прискорення за напрямами і відповідно будуть:
Проекція прискорення на напрямок
(8.48)
називається дотичним прискоренням.
Проекція прискорення на головну нормаль
(8.49)
називається нормальним прискоренням.
Нормальне прискорення . Проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю.
Дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за величиною, а нормальне прискорення - зміну швидкості за напрямком.
Модуль вектора прискорення.
(8.50)
Дотичне прискорення дорівнює нулю при русі точки з постійною за модулем швидкістю і в момент часу, в якій швидкістьдосягає екстремальних значень.
Якщо і одного знака, то модуль швидкості точки зростає і рух в цьому випадку називається прискореним (рис. 8.20а).
Якщо ж і різних знаків, то модуль швидкості спадає і рух буде сповільненим (рис. 8.20 б).
а) Рис 8.20 б)
При модуль швидкості залишається постійним і рух буде рівномірним.
Нормальне прискорення дорівнює нулю при прямолінійному русі (J, а також в точках перегину криволінійної траєкторії і в моменти часу, при якому швидкість точки дорівнює нулю.
Радіус кривини траєкторії можна визначити за формулою:
(8.51)
Зазначимо, що для обчислення дотичного прискорення можна використати рівність , оскільки
Якщо рух точки задано координатним способом, у випадку опису руху в декартових координатах то будемо мати:
Для полярних координат одержимо: