- •21. Функции. Понятие. Классификация.
- •22. Предел последовательности и его свойства.
- •23. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •24. Определенный интеграл и его свойства.
- •25. Случайные события. Действия. Свойства.
- •26. Случайные события. Операции. (Теоретико-множественная трактовка).
- •27. Относительная частота. Свойства. Статистическое и классическое определение вероятности.
- •28. Элементы комбинаторики. Схема выбора без возвращения.
- •Число различных размещений из n элементов по m элементов определяется с помощью формулы
- •29. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением.
- •30. Геометрическое определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.
23. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение. Функция называется первообразной функцией для данной функции (или, короче, первообразной данной функции) на данном промежутке, если на этом промежутке .
Определение. Выражение , где – первообразная функции и C – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , причем называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, знак – знаком интеграла.
Теорема. Если функция непрерывна на сегменте , то на этом сегменте у функции существует первообразная.
Свойства неопределенного интеграла.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекает следующие свойства:
-
и, значит, .
-
, что может быть переписано так: .
-
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .
-
Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
24. Определенный интеграл и его свойства.
Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть требуется найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции , непрерывной и неотрицательной на сегменте , и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.
y
B
A
0 a b x
Разобьем отрезок точками на число n частичных отрезков и положим , k = 1, 2, …, n. Наибольшую из этих разностей через . На каждом частичном сегменте , k = 1, 2, …, n, выберем произвольную точку , . Произведение даст площадь прямоугольника, имеющего основание и высоту , а сумма - приближенную площадь S криволинейной трапеции aABb. Отсюда, площадь равна:
(1)
Определение. Если существует предел (1), не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определенным интегралом функции на сегменте и обозначать символом
(2)
Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), сумма - интегральной суммой.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.
Свойства определенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
.
2. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций.
.
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный
.
4. Интеграл по сегменту равен сумме интегралов по его частям
, где a < c < b.
25. Случайные события. Действия. Свойства.
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.
Предмет теории вероятности – это математические модели случайных явлений.
Случайное явление – это явление, предсказать исход которого невозможно.
Цель теории вероятности – это осуществление прогноза в области случайных явлений.
Случайным событием называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. Случайные события обозначаются A, B, C, D, … .
Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются .
Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается .
Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате опыта.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет во время опыта.
Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте, т.е. не они не могут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместимыми.
События называются попарно несовместимыми, если любые два из них несовместимы.
Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместимы и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.
Несколько событий называются равновозможными, если в результате опыта все события имеют равные шансы.
Действия над событиями.
Суммой двух событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении одного из них.
Произведением событий A и B называется событие C = A · B, состоящее в совместном наступлении этих событий.
Разностью событий A и B называется событие C = A – B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B.
Противоположным событию A называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.
Событие A влечет событие B, если из того, что происходит событие A следует, что происходит событие B. .
Если A влечет B и B влечет A, то события A и B называются равными. A = B.
Свойства операций над событиями.
-
Переместительное. , .
-
Распределительное. , .
-
Сочетательное. .
-
,
-
,
-
=1, = .
-
.
-
.
-
.
-
Законы де Моргана
-
.
-
.