Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.

1.D = .

2. Относительная погрешность вычисленной площади , а её приближённое значение мы получим, заменив в этом равенстве ∆S на dS. В таком случае . Но площадь круга (x-диаметр), а поэтому . Таким образом . (Иначе: ).По условию x = 6,7 см; dx = 0,03 см, а потому, а умножая эту величину на 100, получим погрешность в процентах, которая равна (0,009 · 100)% = 0,9%.

3.Объём шара вычисляется по формуле , где x - диаметр шара. Приближённо погрешность ∆V вычисленного объёма (приращение объёма как функции диаметра) равна . Относительная погрешность . Но относительна погрешность измерения диаметра , а поэтому , что и требовалось доказать.

4.D_R = 0,66%.

5.поэтому относительная погрешность D_T = а так как относительная погрешность измерения длины маятника D_l≈ то D_TD_l.

6.Задача состоит в определении приращения периода как функции приращения длины маятника. Вспомнив, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, легко получить ответ, найдя дифференциал периода по переменной - длине маятника. ) = Перейдя к конечным приращениям получим приближённую формулу:. Далее: . Длину маятника следует увеличить на 2,5 см.

7.Условие задачи позволяет считать gфункцией только длины.

8.D_g = 2D_T; 9. 10.11.;12.

13.;14. 15. ; 16.17.18.

19. «Градиент» скорости и скорость сдвига.

«Градиент» скорости , входящий в формулу закона Ньютона для вязкой жидкости , как это видно из рисунка, представляет собой, с математической точки зрения, смешанную производную от координаты y по аргументам zиt. Обоснованно предположив независимость аргументов и непрерывность частных производных по этим аргументам получим: в физике называют скоростью деформации сдвига (скоростью сдвига) и эта величина измеряется или обратными секундами. Иначе говоря, скорость деформации при простом сдвиге равна градиенту скорости течения .

Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.

1.Полагая u =1, 2, 3, 4, 5, получим уравнения соответствующих линий уровня:

x + y = 1; x + y = 2; x + y = 3; x + y = 4; x + y = 5.

Построив эти линии в прямоугольной системе координат x0y, получим прямые, параллельные биссектрисе 2 – го и 4 - го координатных углов.

2.Написав уравнения линий уровня: x² +y² =1, x² +y² =2, x² +y² =3, x² +y² =4, x² +y² =5 и построив их в плоскости x0y, получим концентрические окружности с центром в начале координат.

3.Линии уровня 2y = x², y = x², 2y = 3x², y = 2x², 2y = 5x²представляют параболы, симметричные оси 0y с общей вершиной в начале координат.

4.Находим частные производные функции u и вычисляем их значения в точке А:

Подставляя в формулу: найдём производную функции uв точке A по любому направлению

Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииu по заданному направлению.

Для биссектрисы первого координатного угла: α = β = 45⁰_, cosα = cos β =

5.Находим частные производные функции u и вычисляем их значения в точке А:

Подставляя в формулу найдём производную функции uв точке A по любому направлению

Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииu по заданному направлению.

Для вектора : _, cosα =cos β =

6.Находим частные производные функции u и вычисляем их значения в точке А:

Подставляя в формулу: найдём производную функции uв точке A по любому направлению

Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииu по заданному направлению.

Для вектора : _, cosα =cos β =

7.Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции u (M) при переходе точки Mв точку P численно равна модулю градиента функции в точке P. При этом функция,будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка M при переходе через точку P двигаться по направлению градиента функции в точке Pили по прямо противоположному направлению.

Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции u и по формуле ─ её градиент в любой точке:

Далее находим:

1)

2) его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости возрастания функции u (M)при переходе М через М₀, будет

8.Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции u (M) при переходе точки Mв точку P численно равна модулю градиента функции в точке P. При этом функция, будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка M при переходе через точку P двигаться по направлению градиента функции в точке Pили по прямо противоположному направлению.

Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции u и по формуле ─её градиент в любой точке:

Далее находим:

1)

2) искомый вектор, имеющий прямо противоположное направление, будет

─

Чтобы функция u (M) убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точку M₁точка M должна двигаться в направлении ─

9.Чтобы в некоторой точке P производная функции по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нуль. [Согласно формуле: .]

Поэтому, найдя частные производные:

и и решая систему уравнений и , получим две точки: (-3, 1) и (1, -1), в которых функция стационарна.

10.Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат: x² + y² +z² = С.

11.

12. Найдём единичный вектор :

а затем производную скалярного поля U по направлению вектора в точке А:

Так как то данное скалярное поле убывает в направлении вектора .

13. 1). Воспользуемся определением градиента скалярной функции:

2). Направим ось x поперёк мембраны снаружи внутрь. Учтём, что вданном случае, потенциал – скалярная функция только одной координаты х, тогда:. 3). Изобразим график зависимости потенциала от координаты x.

4). По графику можно определить tgα. Видно, что он отрицательный и по определению равен производной потенциала по координате x. Вычислим производную.

₅). , т.е. вектор градиент потенциала направлен наружу клетки и по модулю равен

_14.По известному выражению для потенциала поля точечного электростатического диполя найдём модуль напряжённости поля. При этом учтём, что особым выделенным направлением в данном случае окажется направление, совпадающее с направлением дипольного момента P. Если расположить диполь в пространстве так, что он находится в начале координат и направлен вдоль оси Y, то картина силовых линий поля диполя окажется одинаковой для любой плоскости, проходящей через вектор дипольного момента. φ и Ε симметричны относительно оси Y.

Воспользуемся связью напряжённости электростатического поля с его потенциалом и найдём проекции вектора напряжённости

и . После чего модуль вектора напряженности получится как:.

На плоскости XY, и .

Для проекции получим

.

Для проекции получим:

.

Итак:,иначе .