Интегралы. Неопределённые интегралы.

1. Найдите интеграл: .

2. Найдите интеграл: .

3. Найдите интеграл: .

4. Найдите интеграл:.

5. Найдите интеграл: .

6. Найдите интеграл: .

7. Найдите интеграл: .

8. Найдите интеграл: .

9. Найдите интеграл:.

10. Найдите интеграл:.

11. Найдите интеграл:.

12. Найдите интеграл:.

13. Найдите интеграл:.

14. Найдите интеграл:.

15. Найдите интеграл: .

16. Найдите интеграл:.

17. Найдите интеграл:.

18. Найдите интеграл:.

19. Найдите интеграл: .

20. Найдите интеграл:.

21. Найдите интеграл:.

22. Найдите интеграл:.

23. Найдите интеграл:.

24. Найдите интеграл:.

25. Найдите интеграл:.

26. Найдите интеграл:.

27. Найдите интеграл:.

28. Найдите интеграл:.

Определённые интегралы.

1. Определите значение a, при котором выполняется: .

2. Получите выражение для тепловой мощности N_т, выделяемой при ламинарном течении ньютоновской жидкости вязкостью η по цилиндрической трубке длины l под действием разности давлений ΔP. Считайте известными так же радиус трубки R, удельную тепловую мощность , где - напряжение сдвига как функцию расстояния r от оси трубки и - скорость сдвига как функцию расстояния r от оси трубки.

3. Пусть кривая проходит в плоскости xy через точку (0,2), а тангенс угла наклона её касательной к оси ОХ выражается функцией х³ - 3х² +2. Найдите эту кривую.

4. Считая известной зависимость линейной скорости течения V вязкой ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке радиуса R:

, где ΔP - разность давлений на концах трубки, η - вязкость жидкости, l - длина трубки, определите объёмную скорость течения (расход) жидкости Q. Идентифицируйте полученное решение уравнения как формулу Пуазейля.

5. Идеальный газ изотермически расширяется. При этом давление газа изменяется от P₁ до P₂ . Масса газа m не изменяется. Молярная масса газа M, универсальная газовая постоянная R, абсолютная температура газа T. Получите формулу работы, совершённой газом над внешними телами.

6. Идеальный газ изотермически расширяется. При этом объём газа изменяется от V₁ до V₂. Масса газа m не изменяется. Молярная масса газа M, универсальная газовая постоянная R, абсолютная температура газа T. Получите формулу работы, совершённой газом над внешними телами.

7.Найдите:.

8. Используя закон Био-Савара-Лапласа и вычислив определённый интеграл, получите формулу для расчёта индукции магнитного поля, образованного прямым бесконечно длинным проводом, по которому течёт постоянный ток проводимости. Сила тока в проводе – I.

Дифференциальные уравнения.

1. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

2. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение релаксации механического напряжения. Найдите общее решение полученного уравнения для напряжения. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия напряжение σ₀ в момент времени t₀ = 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

3. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

4. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение упругого последействия. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия наличие относительной деформации ε₀ в начальный момент времени t₀ = 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

5. Судебному медику необходимо установить момент смерти. При первом осмотре в 9 часов 30 минут местного времени была зафиксирована температура тела потерпевшего Т₁ = 35,5⁰ С, спустя один час температура тела оказалась Т₂ = 35,0⁰ С. Температура воздуха в помещении была постоянной и составляла Т₀ = 22⁰ С. Считать температуру тела в момент наступления смерти Т_N = 36,7⁰ С, а скорость охлаждения тела прямо пропорциональной разности температур тела в данный момент и окружающей среды.

6. Считая, что каждый элементарный слой вещества поглощает одну и ту же часть интенсивности попавшего на него электромагнитного излучения, составьте и решите дифференциальное уравнение для поглощения электромагнитного излучения. Идентифицируйте полученное частное решение дифференциального уравнения как закон поглощения Бугера.

7. Считая, что убыль изделий медицинской техники в процессе эксплуатации прямо пропорциональна исходному количеству изделий и промежутку времени эксплуатации, составьте и решите дифференциальное уравнение для вероятности безотказной работы изделия как функции времени. Идентифицируйте постоянный коэффициент в частном решении уравнения как интенсивность отказов медицинской техники.

8. Составьте дифференциальное уравнение для получения основного закона радиоактивного распада. Для чего считайте, что убыль распадающихся ядер прямо пропорциональна числу ещё нераспавшихся к данному моменту ядер, а коэффициент пропорциональности обозначьте λ и назовите постоянной распада. Решите уравнение, получите частное решение в виде основного закона радиоактивного распада, учитывая, что в начальный момент времени t = 0 число ещё нераспавшихся ядер было N₀. Постройте интегральную кривую.

9. По цилиндрической трубке малого радиуса (т.н. капилляру) стационарно в ламинарном режиме под действием разности давлений ∆P на концах трубки течёт ньютоновская жидкость с вязкостью η. Радиус трубки R, длина трубки l. Используя реологическое уравнение Ньютона, где τ - напряжение сдвига, - модуль градиента скорости, r - расстояние от оси трубки, составьте дифференциальное уравнение для линейной скорости течения жидкости по трубке v как функции расстояния от оси трубки v =v(r). Получите частное решение уравнения из условия, что на стенке трубки, т.е. при r = R линейная скорость . Постройте интегральную кривую.

10. Докажите, что закон гармонических колебаний x_t = Acos(ω₀t + φ₀) является решением уравнения гармонических колебаний: .

11. Докажите, что уравнение гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x, S(x,t) = S₀cos(ω₀(t - x/v)) является решением волнового уравнения: , где v -фазовая скорость распространения волны.

12. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: где F- не зависит от времени, а m - масса. Найдите общее решение уравнения.

13. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: где F> 0- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна нулю, начальная скорость равна нулю. Изобразите графически интегральную кривую.

14. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: где F> 0- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна нулю, начальная скорость равна V₀. Изобразите графически интегральную кривую.

15. Дифференциальное уравнение, составленное на основании второго закона Ньютона, для движения материальной точки вдоль оси х имеет вид: где F- не зависит от времени, а m - масса. Найдите частное решение уравнения, если в начальный момент времени координата была равна Х₀, начальная скорость равна V₀. Изобразите графически интегральную кривую.

16. Длинное цилиндрическое тело, нагретое до температуры T₁, охлаждается на воздухе. Составьте и решите дифференциальное уравнение процесса охлаждения, считая, что процесс охлаждения цилиндра таков, что скорость охлаждения прямо пропорциональна разности температур нагретого тела и окружающей среды. Примите температуру окружающего воздуха за T_N и считайте её постоянной.

17. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

18. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

19. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

20. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

21. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

22. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

23. Найдите общее решение дифференциального уравнения: .

24. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

25.Естественный прирост населения большого города пропорционален наличному количеству жителей и промежутку времени. Кроме того, население города увеличивается благодаря иммиграции: скорость прироста этим путём пропорциональна времени, отсчитываемому от момента, когда население города равнялось A₀. Найдите зависимость числа жителей города от времени.

26. Проинтегрируйте дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и укажите интегральную кривую, удовлетворяющую условию

27. Определите прогнозируемую численность населения России в 2020 году, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его наличному количеству, и зная, что население России в 2000 году составляло 145млн человек, а прирост населения за 2000 год был равен α%. (Вычислите при α = 2%, α = -1%).

28.Докажите, что функция где - постоянные, удовлетворяет дифференциальному уравнению где

29. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Определите закон движения тела, полагая, что оно движется только под действием силы тяжести.

30. Получите дифференциальное уравнение, описывающее изменение мембранного допорогового электрического потенциала с расстоянием и со временем, имея в виду мембрану гигантского аксона кальмара. Электрическое сопротивление единицы длины аксоплазмы (), единицы длины мембраны аксона (, электрическую ёмкость единицы длины мембраны аксона , радиус осевого цилиндра аксона (r) и толщину мембраны (h) аксона считать известными.

31.На поверхность жидкости осторожно положили стальной шарик малого диаметра d так, что его вертикальная скорость относительно лабораторной системы отсчёта в начальный момент была равной нулю. Плотность шарика ρ₁ больше плотности жидкости ρ₂. Жидкость ньютоновская с вязкостью η находится в поле силы тяжести Земли с ускорением свободного падения g. Найдите скорость шарика как функцию времени.