II. Материалы к собеседованию. Производные и дифференциалы.

1. Найдите производную от функции:

2. Найдите дифференциал функции:

3. Найдите производную от функции:

4. Найдите дифференциал функции:

5. Найдите производную от функции:

6. Найдите дифференциал функции:

7. Найдите производную от функции:

8. Найдите дифференциал функции:

9. Найдите производную от функции:

10. Найдите дифференциал функции:

11. Найдите производную от функции:

12. Найдите дифференциал функции:

13. Найдите производную от функции:

14. Найдите дифференциал функции:

15. Найдите производную от функции:

16. Найдите дифференциал функции:

17. Найдите производную от функции:

18. Найдите дифференциал функции:

19. Найдите дифференциал функции:

20. Найдите дифференциал функции:

21. Найдите производную от функции:

22. Найдите дифференциал функции:

23. Найдите производную от функции:

24. Найдите дифференциал функции:

25. Найдите производную от функции: y = 4 sin (x² + 1)

26. В середине XIX века физиолог - экспериментатор Дюбуа-Реймон (DuBois - Reymond) установил, что «не абсолютная величина плотности тока в данный момент есть то, на что двигательный нерв отвечает сокращением принадлежащей ему мышцы, но изменения этой величины от одного момента к другому». На языке математики закон раздражения Дюбуа-Реймона означает, что способность вызывать возбуждение определяется скоростью изменения силы тока со временем. Постройте на графике такую зависимость силы тока от времени,при которой электрический ток наверняка вызовет сокращение мышцы.

27. Амплитуда вынужденных колебаний А является функцией частоты вынуждающей силы Ω:

Определите частоту вынуждающей силы Ω_рез, при которой амплитуда А достигает максимума (будет наблюдаться явление резонанса вынужденных колебаний).

28. Амплитуда вынужденных колебаний А является функцией частоты вынуждающей силы Ω:

Определите максимум амплитуды при резонансе.

29. Зная основной закон радиоактивного распада , где N_t - число ещё не распавшихся ядер в момент времени t, получите выражение для зависимости от времени активности A(t) радиоактивного препарата, которая является абсолютной величиной скорости радиоактивного препарата.

Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.

1. При прямых измерениях найдено, что диаметр круга равен 6,67 см, причём максимальная погрешность измерения составляет 0,03 см. Найдите приближённую относительную погрешность диаметра в процентах.

2. При прямых измерениях найдено, что диаметр круга равен 6,67 см, причём максимальная погрешность измерения составляет 0,03 см. Найдите приближённую относительную погрешность площади круга в процентах.

3. Докажите, что относительная погрешность вычисленного объёма шара приблизительно равна утроенной относительной погрешности в измерении его диаметра.

4. Определите относительную погрешность, с которой допустимо измерить радиус шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 2%.

5. Период малых колебаний «нитяного» (математического)маятника (в секундах) определяется по формуле

,

где l -длина маятника в сантиметрах, а g = 981 см/с² - ускорение силы тяжести.

Докажите, что приближённая относительная погрешность периода колебаний маятника равна половине относительной погрешности его измеренной длины.

6. Пользуясь формулой , установите, насколько следует изменить длину маятника l = 25 см, чтобы его период увеличился на 0,05 секунд.

7. Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощью маятника может быть сделано по формуле

Определите относительную погрешность в определении g, если известна относительная погрешность в измерении l - D_l, а погрешностью в измерении T можно пренебречь.

8. Из формулы следует, что определение ускорения силы тяжести с помощ0ью маятника может быть сделано по формуле

Определите относительную погрешность (D_g) в определении g, если известна относительная погрешность в измерении T - D_T, а погрешностью в измерении l можно пренебречь.

₉. Вычислите частную производную функции

10. Вычислите частную производную функции

11. Вычислите частную производную функции

12. Вычислите частную производную функции

13. Вычислите частную производную функции

14. Вычислите частную производную функции

15. Вычислите частную производную функции

16. Вычислите частную производную функции

17. Вычислите частную производную функции

18. Вычислите частную производную функции

19. Входящий в выражение закона Ньютона для вязкой жидкости модуль производной часто не совсем правильно называют «градиентом скорости». Покажите, что в простейшем случае этот «градиент скорости» равен скорости сдвига.

Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.

1. Постройте линии равного уровня скалярного поля u = x + y, соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

2. Постройте линии равного уровня скалярного поля u = x² + y², соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

3. Постройте линии равного уровня скалярного поля , соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

4. Найдите производную функции в точке A (3,4) по направлению биссектрисы первого координатного угла.

5. Найдите производную функции в точке A (3,4) по направлению вектора

6. Найдите производную функции в точке A (3,4) по направлению радиус-вектора точки A.

7. Определите наибольшую скорость, с которой может возрастать функция u (M) = при переходе от точки M(x,y,z) через точку M₀ (-1, 2, -2).

8. Определите направление, по которому должна двигаться точка M при переходе через точку M₁ (2, 0, 1), чтобы функция u (M) = убывала с наибольшей скоростью.

9. Найдите точки, в которых функция стационарна (т.е. точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).

10. Найдите поверхности уровня скалярного поля U = x² + y² + z².

11. Вычислите градиент скалярного поля U = x² + y² +z² в точке .

12. Вычислите производную скалярного поля U = x² + y² +z² в точке по направлению вектора , где B (0; -4; 3).

13. При введении через плазматическую мембрану живой клетки

стеклянной микропипетки-электрода регистрируется потенциал покоя

равный -100 мВ относительно окружающего клетку раствора.

Определите величину и направление градиента потенциала, если считать, что потенциал линейно убывает через мембрану снаружи внутрь. Толщину мембраны считать равной l = 10 нм.

14. По известному выражению для потенциала поля точечного электростатического диполя найдите модуль электрической напряжённостиполя электростатического диполя. Считайте, что связь между потенциалом и напряжённостью электростатического поля известна: