Дифференциальные уравнения.

1. ; . При ползучести σ = const. ;; . При t = 0, ε = 0 и С =0..

2. ; . При релаксации: . .; ; . При t = 0, , тогда константа . , , , где - время релаксации.

3.;; dt; ; ; = ; || = ; ; ;

; .

4.;; ; ; . При t = 0 ε = . =; . Здесь - время упругого последействия.

5.1). Опишем на языке знаков условие задачи.Т - температура тела в произвольный момент времени t, Т₁ = 35,5⁰ С - температура тела в момент первого наблюдения, Т₂ = 35,0⁰ С - температура тела в момент второго наблюдения, Т₀ = 22⁰ С - постоянная температура окружающей среды, Т_N = 36,7⁰ С - температура тела в момент смерти, τ = 9 часов 30 минут - момент первого наблюдения, t - время, прошедшее с момента наступления смерти, t₁ - время, прошедшее с момента наступления смерти до первого наблюдения, t₂ - время, прошедшее с момента наступления смерти до второго наблюдения,Δt = 1 час - промежуток времени между первым и вторым наблюдением, t₂ = t₁ + Δt, k - коэффициент пропорциональности между скоростью охлаждения и разностью температур тела и окружающей среды.2). Составим знаковую модель в виде математической модели., где знак « - » означает охлаждение. 3). Решим дифференциальное уравнение, разделив переменные., ,, .

4). Получим частное решение уравнения (решим задачу Коши).,

.

Константу скорости охлаждения k находим:

Разделив (1) на (2) получаем константу k:

5). Вычисляем момент наступившей смерти:

t₁ = 2,26 часа ≈ 2 часа 15 минут

Момент смерти: τ - t₁ = 9 часов 30 минут - 2 часа 15 минут = 7 часов 15 мин по местному времени.

6. ; ; ;.

7.;λ;λ. , где - вероятность безотказной работы.

8.; λ;λ.

9.1).Проанализируем условия стационарного течения по трубке: при стационарном течении вязкой жидкости по трубке объёмная скорость течения (расход) жидкости постоянен во времени. Отсюда следует, что слой жидкости, находящийся на некотором расстоянии от оси трубки должен двигаться с определённой неизменной во времени скоростью, т.е. в трубке должно наблюдаться «телескопическое» течение. Каждый из коаксиальных цилиндрических слоёв должен иметь постоянную скорость.

2). Истолкуем полученный результат с позиций законов динамики: с точки зрения законов динамики описанная ситуация возможна только в случае скомпенсированного действия сил на каждый из тонких коаксиальных слоёв.3). Проиллюстрируем сказанное рисунком.

V = const, F_Т = F_Д

4). Запишем равенство сил, используя понятие напряжение сдвига, реологический закон Ньютона и приняв во внимание, что градиент скорости направлен от стенки трубки к оси: для приосевого цилиндра радиуса rF_Д =, F_Т = откуда для любой жидкости. Для ньютоновской жидкости , поэтому . 5). Решим полученное обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, частное решение получим, приняв во внимание условие на стенке трубки V = 0 при r =R.

Ответ: откуда

,,,.

10. . Подстановка полученного выражения второй производной висходное уравнение обращает его в тождество.

(t -	(t –
(t -	(t -
(t -	(t -
(t -

11.

12.; . Пусть , тогда для порядок дифф.ура окажется ниже на единицу.;

; ; ; ; ; ; . Полученное общее решение легко идентифицируется с законом движения при прямолинейном равноускоренном движении, который изучался Вами в 8 классе средней школы. проекция ускорения на ось х, - начальная скорость, - начальная координата.

13. См. решение задачи 12. , , Возможны два случая: и . В первом случае проекция ускорения будет положительна , а во втором – отрицательна.

14.См. решение задачи 12,13.

15.См. решение задачи 12,13.

16. ; ; ; ; ; ; {

17. 1). Уравнение: ― обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. 2). .

3). . 4). . 5). ;, где . И окончательно:.

18.

19.

20. ..

21. .

22. .

23. .

24. .

25. 1). Если A – наличное количество жителей города в момент времени t, то по условию прирост за время dt будет dA =k₁·A·dt, где k₁ – коэффициент пропорциональности. Отсюда найдём скорость прироста:

2). Кроме того, население увеличивается за счёт иммиграции, так что скорость прироста населения в целом равна: где k₂ – отличный от k₁ коэффициент пропорциональности.

3). Полагая в полученном уравнении: будем иметь:

4). Выберем функцию v таким образом, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. Из этого уравнения найдём v: .

5). Из уравнения определяем

Итак,

Из начального условия A(0) = A₀ находим: Тогда искомая зависимость числа жителей города от времени выразится формулой:

26.1). Уравнение с разделяющимися переменными приведём к уравнению с разделёнными переменными, разделив обе части уравнения на произведение , :

. 2). Интегрируем полученное уравнение:

.

В нашем случае для упрощения вида общего решения, произвольную постоянную удобнее записать в логарифмическом виде:

.

Тогда общий интеграл (общее решение) уравнения примет вид:

.

3). Выражаем из последнего равенства и получаем общее решение исходного уравнения:

.

4). При делении на предполагалось, что , то есть ( для любых ). Проверкой убеждаемся, что у = 0 можно получить из формулы общего решения при С₁ = 0. Следовательно, у = 0 – частное решение.5). Выделим интегральную кривую, проходящую через точку (1;2). Для этого подставим значения х = 1 и у = 2 в общее решение и определим соответствующее значение С₁:

.

Итак, - искомая интегральная кривая.

27. Обозначим численность населения России в момент времени .

Дифференциальное уравнение исследуемого процесса (скорость «прироста» численности населения) имеет вид , где – коэффициент пропорциональности.

Учитывая, что , имеем - общее решение уравнения.

Согласно условию задачи 145 при . Находим частное решение:

, т.е. С =145, .

Найдём значение коэффициента , зная, что в конце 2000 года, т.е. при 1, население России равно млн человек: . Отсюда

, т.е. . Равенство теперь можно переписать так:

.

Таким образом через 20 лет численность населения составит:

При α = 2%: (млн человек);

при α = -1%: (млн человек).

28. 1). «Функция удовлетворяет уравнению» означает, что при подстановке её и её производных в уравнение, оно обратится в тождество.

2). Найдём первую производную функции по t:

3). Найдём вторую производную функции по t:

4). Получим произведение:

5). Учитывая, что получим:

.

6). Сложив полученные выражения для и приводя подобные, убеждаемся в равенстве нулю полученной суммы:

7). Т.о. функция обращает равенство (дифференциальное уравнение) в тождество, т.е. она удовлетворяет дифференциальному уравнению и является одним из решений этого уравнения.

29. По второму закону Ньютона, на движущееся тело действует сила

Дифференциальное уравнение движения в проекциях на вертикальную ось

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ найдём из начальных условий v = v₀, S = 0 при t = 0. Имеем C₁ = v₀, C₂ = 0. Таким образом, закон движения брошенного вверх тела под действием силы тяжести выражается зависимостями

30.Рассмотрим электрические свойства отрезка аксона длиной Lи радиусом осевого цилиндра r. Толщину мембраны обозначим через h.

Пусть -удельное сопротивление аксоплазмы и - удельное сопротивление мембраны.

Электрическое сопротивление отрезка аксона для аксиального тока обозначим как . . Сопротивление единицы длины , так как все единицы числом L соединены последовательно.

Электрическое сопротивление мембраны отрезка аксона длины L обозначим, как и найдём , учитывая направление тока через мембрану .

. Учитывая, что сопротивления L единиц длины для тока через мембрану окажутся соединёнными параллельно, рассчитаем сопротивление , приходящееся на единицу длины..

Обозначим и назовём её постоянной длины нервного волокна .

(1).

Рассчитаем теперь аксиальный ток на отрезке нервного волокна , воспользовавшись законом Ома для однородного участка электрической цепи .

.

Силу электрического тока через мембрану можно рассчитать, пойдя двумя путями.

Первый путь основан на законе сохранения электрического заряда. Применительно к рассматриваемому случаю, сила мембранного тока будет равна убыли аксиального тока на участке . То есть:

. (2)

С другой стороны тот же самый мембранный ток должен пройти через мембрану, эквивалентная схема которой представляет параллельно соединённые сопротивление мембраны и ёмкость мембраны .

. (3)

Приравняв левые части выражений (2) и (3), получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которое получило название «кабельное уравнение» или «телеграфное уравнение».

(4)

Из уравнения: можно получить уравнения для двух частных случаев.

В первом случае получается «стационарное телеграфное уравнение», если предположить, что потенциал V на мембране удерживается постоянным в точке с координатой x = 0. Для этого случая в качестве решения легко получить зависимость потенциала от координаты xдля заданного момента времени t. Эта зависимость имеет вид: , где - постоянная длины. Очевиден физический смысл . Предположив, что x = получим: , где - основание натуральных логарифмов. Таким образом, постоянная длины представляет собой расстояние от точки удержания потенциала до точки, в которой потенциал будет меньше исходного в раз. Чем больше значение постоянной длины, тем меньше окажется изменение потенциала с увеличением расстояния от исходной точки.

Второй частный случай получится, если поинтересоваться тем, как изменяется потенциал в одной и той же точки с течением времени. При этом в уравнении (4) и уравнение преобразуется к виду: . Это уравнение легко интегрируется методом разделения переменных.

Обозначив постоянную времени нервного волокна получим: . Из этой зависимости понятен физический смысл постоянной времени . Она представляет из себя время, в течении которого потенциал в данной точке наблюдения уменьшится в раз.

Кабельные постоянные и нервного волокна играют важную роль в процессах пространственной и временной суммации допороговых электрических сигналов, происходящих на мембранах нервных клеток.

Зависимость постоянной длины от физических характеристик волокна (1) указывает на пути возможного увеличения . -удельное сопротивление аксоплазмы и - удельное сопротивление мембраны мало меняются у разных представителей животного мира. Поэтому увеличить возможно либо за счёт увеличения радиуса осевого цилиндра нервного волокна r, что реализовано у гигантского аксона кальмара. Либо за счёт увеличения толщины h, что реализовано в миелиновом нервном волокне за счёт швановской оболочки.

31. После того, как шарик окажется полностью погружённым в жидкость, на него будут действовать три силы. Сила тяжести , выталкивающая сила Архимеда и сила Стокса. В проекциях на вертикальную ось второй закон Ньютона будет выглядеть с математической точки зрения как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

или .

Это уравнение решается понижением порядка. Обозначив ,как и учитывая: придадим уравнению вид:

Решением полученного уравнения является скорость v как функция времени – v(t). Получить решение уравнения можно, если разделить переменные и переписать его в дифференциалах.

ln Приняв за начальные условия: , получим , и частное решение:ln. Далее: ln, , . При .