Вычислим значения определителей всех пяти матриц (c использованием функции мопред среды excel). Получим

Так как определитель матрицы A не равен нулю - система имеет единственное решение. Тогда определим по формуле (2.4). Получим

Метод Гаусса. Решение СЛАУ этим методом предполагает посредством эквивалентных преобразований приведение расширенной матрицы системы (расширенная матрица системы - это матрица размером в n строк и n+1 столбцов, включающая в себя исходную матрицу A c присоединенным к ней столбцом, содержащим вектор B) к треугольному виду (так, чтобы ниже ее главной диагонали находились только нулевые элементы). Тогда начиная с последней строки и двигаясь вверх можно последовательно определить значения всех компонент решения.

Эквивалентными преобразованиями системы линейный уравнений называются такие ее преобразования, которые не изменяют ее решения. К их числу относятся :

перестановка местами двух любых уравнений системы
умножение (или деление) какого-либо уравнения системы на число, не равное нулю
прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного (или разделенного) на некоторое, не равное нулю, число.

Начало преобразований расширенной матрицы системы к необходимому виду заключается в просмотре значений коэффициентов при x₁ и выборе строки, в которой он имеет максимальное по абсолютной величине значение (это необходимо для уменьшения величины вычислительной ошибки при последующих вычислениях). Эту строку расширенной матрицы необходимо поменять местами с первой ее строкой. После этого все элементы этой новой первой строки (в том числе и в последнем ее столбце) необходимо разделить на этот коэффициент. После этого вновь полученный коэффициент a₁₁ станет равным единице. Дальше от каждой из оставшихся строк матрицы необходимо вычесть ее первую строку, умноженную на значение коэффициента при x₁в этой строке (т.е. на величину a_i1, где i=2, 3, …n). После этого во всех строках, начиная со второй коэффициент при - все коэффициенты a_ii=1 (i=1, 2, …, n) будет равным нулю. Поскольку мы выполняли только эквивалентные преобразования - решение вновь полученной СЛАУ не будет отличаться от исходной системы.

Дальше, оставляя неизменной первую строку матрицы, проделаем все вышеописанные действия с остальными строками матрицы и, в результате, вновь полученный коэффициент a₂₂ станет равным единице, а все коэффициенты a_i₂ (i=3, 4, …, n) станут равными нулю. Продолжая аналогичные действия, мы в конечном итоге приведем нашу матрицу к виду, в котором

- все коэффициенты a_ii= 1 (i=1, 2, …, n),

- все коэффициенты a_ij= 0 (i=2, 3, …, n, j<i).

После этого, обратным ходом, можно найти значения всех x_i, составляющих решение исходной системы.

Если на каком-то шаге при поиске наибольшего по абсолютной величине коэффициента при x_j мы не сможем найти не равного нулю коэффициента - это будет значить, что исходная система не имеет единственного решения. В этом случае процесс решения необходимо прекратить.

Достаточно подробный алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса приведен на рис. .2.1 и рис. 2.1а.

Пример 2. Найти методом Гаусса решение той же СЛАУ, которую мы уже решали методом Крамера. Составим сначала ее расширенную матрицу. Получим

A* = .

Сначала переставим местами первую и третью строки этой матрицы (так как в ее первом столбце находится наибольший по абсолютной величине элемент), а затем разделим все элементы этой новой первой строки на значение 3. Получим

A* = .