4. Задачи к лабораторной работе.

1. Поясните движение денежных сумм при 5-летней ренте с годовым платежом 1000 руб. при процентной ставке 10% годовых.

2. Найти современную и наращенную величины годовых рент (постнумерандо и пренумерандо) сроком на 10 лет при годовом платеже 200 руб., процентной ставке 7 % годовых с ежеквартальным начислением процентов. Объяснить полученные цифры.

3. Найти современную и наращенную величины ренты при годовом платеже 300 руб. (с выплатами, производимыми в конце каждого месяца), процентной ставке 6 % годовых с ежемесячным начислением процентов. Объяснить полученные цифры для сроков ренты 5 лет и 6 лет.

4. Семья хочет накопить на машину 12000 $, вкладывая в банк ежегодно по 1000 $. Годовая ставка процента в банке 7%. Как долго ей придется копить?

5. Бизнесмен арендовал виллу за 10000$ в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5 %?

6. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи: 1) 5000$ немедленно и по 1000 $ ежегодно в течение 5 лет; 2)8000 $ немедленно и по 300 $ в течение пяти лет. Какой вариант выгоднее при годовой ставке процента 5 %; 10 %?

7. В ходе судебного заседания выяснилось, что гражданин А. недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние два года налоги вместе с процентами (2 % ежемесячно). Какую сумму должен заплатить гражданин А?

8. Замените годовую ренту с годовым платежом 600 $ и длительностью 10 лет семилетней годовой рентой. Ставка процента 8 % в год.

Лабораторная работа № 4. Кредитные расчеты

1. Содержание работы.

• Общий метод погашения займов.

• Потребительский кредит и его погашение.

• Погашение ипотечной ссуды.

• Замена и объединение займов.

2. Теоретический материал.

2.1. Различные методы погашения займов.

Три слова – “заем”, “ссуда”, “кредит” – означают одно и то же – предоставление денег или товаров в долг на условиях возвратности и, как правило, с уплатой процентов. Сам заем называется основным долгом, а наращенный добавок – процентными деньгами.

Если заем D выдан под q сложных годовых процентов на n лет и отдается одним платежом в конце срока, то он равен Y = D*(1 + q)ⁿ.

Если только основной долг погашается одним платежом в конце, то ежегодно выплачиваются проценты в размере Y_i = q*D. В конце срока последняя выплата составит Y_n = D + q*D.

Пусть заем выдан на n лет под q сложных годовых процентов. Если только основной долг погашается равными годовыми выплатами, то платежи представляют убывающую арифметическую прогрессию с первым платежом Y₁= D/n + qD и разностью d = -qD/n, а Y_k+1 = Y_k – d.

Если же этот заем погашается равными годовыми выплатами, то эти платежи составляют годовую ренту длительностью n лет и годовым платежом R = q*D/(1 – (1 + q)^-n). Если же выплаты происходят равными суммами m раз в год и проценты начисляются n раз в год , то величина одной выплаты Y = (q/m)*D /(1 - (1 + q/m)^-n*m).

2.2. Потребительский кредит и его погашение.

Потребительский кредит – схема кредитования физических лиц для приобретения крупных покупок, расчет за которые распределен во времени на несколько месяцев или лет.

При выдаче потребительского кредита сразу на всю сумму начисляются простые проценты, они прибавляются к величине самого кредита и эта сумма должна быть погашена. Пусть D – сумма кредита, кредит взят на n – лет под q процентов годовых. Должна быть погашена сумма D*(1 + n*q).

Первый способ возврата потребительского кредита – погашение долга равными выплатами. Если выплаты происходят m раз в год, размер выплат равен Y₁ = D*(1 + n*q)/(n*m). Доходность кредита j, т.е. ставка сложного процента, по которой современная величина выплат по кредиту равна его номинальной величине, может быть найдена из решения нелинейного уравнения: (1 + n*q) = m*n*(1 - (1 + j/m)^-nm)/(j/m) или с помощью специальных финансовых функций Excel.

Второй способ оплаты потребительского кредита состоит в том, что основной долг выплачивается равными долями, а проценты в размере n*q*D выплатами, уменьшающимися в арифметической прогрессии. Подсчитывают величину d, равную разности арифметической прогрессии, d =q*D/((1 + m*n)*m/2). Первый платеж Y₁ = D/(n*m) + n*m*d, следующий на d меньше и так далее, т.е. Y_k = Y_k-1 - d.

2.3. Погашение ипотечной ссуды.

Такая ссуда выдается на 10 – 30 лет под небольшие проценты. Обычно ее выдают под залог имущества. Пусть ссуда в сумме D выдана на срок n лет под годовую ставку сложных процентов q. Выплаты осуществляются равными ежемесячными платежами в размере Y, который вычисляется из условия, что наращенная величина ренты с ежемесячными выплатами Y равна наращенной величине ссуды при ставке q % годовых Y = D/(1 - (1 + q/12)^-12n)/(q/12)). Формулы фактически те же, что и при выплате долга равными долями.

2.4. Замена и объединение займов.

Один заем можно заменить другим при условии равенства их современных величин потоков выплат по этим займам. Используя эту идею можно также объединять и займы. Сначала находят современные величины остатков займов, складывают их и подбирают параметры нового займа, устраивающие кредитора и заемщика, исходя из равенства его современной величины и невыплаченным остатком прежних займов.