- •1. Понятие функции одного переменного. Виды и способы задания функции.
- •10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
- •5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •11. Теоремы о производных.
- •15. Производные высших порядков.
- •12. Производная сложной функции.
- •16. Теорема Ферма.
- •14. Таблица производных.
- •20. Правило Лопиталя.
- •19. Теорема Коши
- •21. Формула Тейлора.
- •17. Теорема Ролля.
- •27. Функция двух переменных. Виды и способы задания функции двух переменных.
- •1)Табличный
- •2)Графический
- •3)Аналитический
- •26. Алгоритм исследования графиков функции.
- •25. Асимптоты графиков функций.
- •24. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существования точек перегиба.
- •29. Предел функции двух переменных в точке.
- •30. Непрерывность функции двух переменных в точке.
- •23. Понятие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •44. Метод наименьших квадратов.
- •2. Предел функции и его свойства.
- •8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •22. Монотонные функции. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезках.
- •32. Дифференцируемость функций двух переменных в точке.
- •38. Теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
1. Понятие функции одного переменного. Виды и способы задания функции.
Числовой функцией одного переменного у=f(х) называют правило f , которое каждому значению переменной х из множества Х ставит в соответствие единственное значение переменной у из множества У.
Множество Х – область определения функции, множество У – область ее значений.
Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения (x, y, z, t)
Постоянной называется величина, значения которой не меняются (a, b, c)
Способы задания функции:
1)табличный
2)графический
3)аналитический
4. Теоремы о пределах.
1. Т. Предел сумме нескольких переменных = сумме их пределов
2. Т. Предел произведения нескольких переменных = произведению их пределов
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
3. Т. Предел частного 2-х переменных = частному их пределов, если предел знаменателя 0
18. Теорема Лагранжа.
Эту теорему еще называют теоремой о конечных приращениях.
Т. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (а,b). Тогда внутри интервала найдется по крайней мере 1 точка С(а,b), что: f(b)-f(a)=f’’(C)(b-a)
7. Первый и второй замечательные пределы.
limx0 sinx/x = 1 – первый замечательный предел
Т. Числовая последовательность xn=(1+1/n)n имеет предел, обозначаемый числом е.
e=limn∞ (1+1/n)n =e=2,71828… - второй замечательный предел
Два вида записи:
1)lim0 (1+)1/ =e
2)limx∞ (1+1/x)x =e
9. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
Производная функции y=f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при условии х0.
y’=f’’(x)=limх0 у/х = limх0 f(x+х)-f(x)/х
Производная еще обозначается: y’x, dy/dx
Физический смысл производной – это скорость точки, равная производной от пути по времени.
Геометрический смысл – производная = угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x0
k=tg=f’(x0)
10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
Если функция имеет производную в точке х = х0, то говорят, что функция дифференцируема при х=х0
Т. (Необходимое условие дифференцируемости функции)
Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точки х=х0, то она и непрерывна в этой точке.
Док-во: Если существует limх0 у/х=f’’(x0), то переменная представляется в виде:
у/х=f’’(x0)+(х), где limх0 (х)=0 у=f’’(x0)х+(х)х limх0 у=0
Это означает непрерывность функции
Следствие. В точках разрыва функция не имеет производной.
5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.