19. Теорема Коши

Эту теорему еще называют теоремой об отношении приращений 2-х функций.

Т. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b], дифференцируема на (а,b), и g’(x)0 на х(а,b). Тогда внутри (a,b) найдется c(a,b), что выполняется равенство: f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’’(c)/g’(c)

Док-во: Предварительно заметим, что g(b)-g(a)0, иначе по т.Ролля нашлась бы точка С, такая, что g(c)=0, а по предположению: g’(x) 0

Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-k[g(x)-g(a)], где k=(b)-f(a)/g(b)-g(a)

F(a)=0-0=0

F(b)= f(b)-f(a)-k[g(x)-g(a)]=0

F’(x)=f’’(x)-kg’(x)

По т.Ролля найдется точка С, для которой F’(C)=0  f’’(c)=kg’(c)

Поделим на g’(c):

k=f’’(c)/g’(c)

f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’’(c)/g’(c)

21. Формула Тейлора.

f(x)f(a)+f’’(a)(x-a), xa

Пусть имеется функция f(x) неопределенная на [a-R, a+R] и имеющая на (a-R, a+R) приводится до (n+1)-го порядка включительно.

Многочленом Тейлора в степени n называется многочлен, имеющий вид:

P_n(x)=f(a)+f’’(a)/1! *(x-a)+f’’’(a)/2! *(x-a)²+ … +f⁽ⁿ⁾(a)/n! *(x-a)ⁿ

n!=1*2*3* … *(n-1)*n - факториал

Формула Тейлора:

f(x)=f(a)+f’’(a)/1! *(x-a)+ … +f⁽ⁿ⁾(a)/n! *(x-a)ⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n+1)! *(x-a)ⁿ⁺¹

17. Теорема Ролля.

Теорему Ролля еще называют теоремой о корнях производных.

Т. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (а,b) и принимает одинаковые значения на концах отрезка: f(a)=f(b)

Док-во: Известно, что непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее(М) и наименьшее(m) значения.

1)Пусть M=m

Т.к. m≤f(x)≤M, то в этом случае f(x)=m=const

2)Пусть M>m

Существует С₁[a,b], для которой f(C₁)=M и C₂[a,b], для которой f(C₂)=m

a)Допустим, что С₁ совпадает с а(С₁=а). Тогда С₂b, т.к. в противном случае (С₂=b). Имеем f(C₁)=f(a)=f(b)=f(C₂)  M=m, что противоречит условию M>m

Поэтому С₂b; C₂(a,b), тогда по т.Ферма f’’(C₂)=0

Аналогично, если С₂=а или С₂=b, то С₁(a,b)  f’’(C₁)=0

б) С₁, С₂(a,b) по т.Ферма: f’’(C₁)=0; f’’(C₂)=0

27. Функция двух переменных. Виды и способы задания функции двух переменных.

Пусть каждой паре (x,y) значение двух независимых переменных x и y соответствует определенное значение третьей величины z. Тогда Z называется функцией двух независимых переменных x и y.

Z=f(x,y) или Z=Z(x,y)

Способы задания функции:

1)Табличный

2)Графический

3)Аналитический

26. Алгоритм исследования графиков функции.

Алгоритм:

1)определить область существования функции D(y)

2)выяснить четность или нечетность функции, периодичность

3)найти координаты точек пересечения графика с осями координат

4)исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва; выяснить есть ли асимптоты

5)вычислить производную y’; найти критические точки; затем установить  и  функции, ее экстремумы

6)найти интервалы выпуклости  и , а также точки разрыва

7)построить график функции

25. Асимптоты графиков функций.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой  0 при удалении точки M в ∞.

Если асимптота оси ординат, она называется вертикальной. Уравнение вертикальной асимптоты: lim_xa-0 f(x)=∞

lim_xa+0 f(x)=∞

Если асимптота оси абсцисс, то она называется горизонтальной. Уравнение горизонтальной асимптоты: y=b=const

lim_x+(-)∞ f(x)=b

Асимптота y=kx+b с конечными значениями k и b называется наклонной. Коэффициенты k и b вычисляются по формулам:

1)k= lim_x+(-)∞ f(x)/x

2)b= lim_x+(-)∞ [f(x)-kx]