24. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существования точек перегиба.

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от ее вогнутой части – точка перегиба.

Т. (Достаточное условие точки перегиба)

Пусть f’’’(a)=0 или f’’’(a) не существует. Но при переходе через значения х=а f’’’(x) меняет знак. Тогда точка кривой y=f(x) с абсциссой х=а является точкой перегиба.

Док-во: Пусть f’’’(x)<0 при x<a и f’’’(x)>0 при x>a

Тогда кривая выпукла кверху при х<a и вогнута при x>a. Значит точка А(а,f(a)) есть точка перегиба.

Замечание. Точки x=a, в которых f’’’(x)=0 или f’’’(x) не существует еще называют критическими точками 2-го рода. Точки перегиба находятся среди них.

29. Предел функции двух переменных в точке.

Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении M(x,y) к точке M₀(x₀,y₀), если для  малого числа E>0 найдется такое число r_E>0, что для всех точек M в окружности радиуса r_E выполняется неравенство: f(x,y)-A<E

lim_MM0 f(x,y)=A;

lim_{xx0, yy0} f(x,y)=A

30. Непрерывность функции двух переменных в точке.

Функция Z=f(x,y) называется непрерывной в точке M₀, если lim_{xx0, yy0} f(x,y)=f(x₀,y₀), lim_{х0, y0} (x₀+х, y₀+y)=f(x₀,y₀), lim_{xx0, yy0} f

23. Понятие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Если внутри [a,b] есть точки, то производная не существует, то в них может быть или не быть экстремумы.

Т.о. функция может иметь экстремум лишь в 2-х случаях:

1)в точках, где производная = 0

2)в точках, где производная не существует или, как говорят еще, терпит разрыв

Т. (1-ое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, соединяющим критическую точку х и дифференцируема в этом интервале.

1)если при переходе слева направо через точку х₀ производная меняет знак с «+» на «-», то в точке х₀ функция максимальна

2)если с «-» на «+», то минимальна

Т. (2-ое достаточное условие экстремума)

Пусть f’’(x₀)=0, a f’’’(x) существует и непрерывна в некоторой окрестности х₀

1)если f’’’(x₀)<0, то при х=х₀ f(x) имеет максимум

2)если f’’’(x₀)>0, то минимум

33. Производная сложной функции двух переменных.

Рассмотрим функцию Z=F(U,V), где переменные U и V в свою очередь являются функциями других переменных х и у.

U=(x,y), V=(x,y)

В этом случае Z является сложной функцией аргументов х и у

Z=F[(x,y),(x,y)]

31. Частные производные 1-го порядка.

Частная производная по х от функции Z называется производная по х, вычисляемая по предположению, что у=const:

Z’_x=Z/x=lim_xx0 _хZ/х=lim_xx0 f(x+х,y)-f(x,y)/x=f’’_x(x,y)=f/x

Частная производная по у – это производная по у, вычисляемая по предположению, что х=const:

Z’_y=Z/y=f/y=f’’_y(x,y)= lim_yy0 (x,y+y)-f(x,y)/y

34. Производная неявной функции.

Т. Пусть функция у(х) задается неявно уравнением F(x,y)≠0, при этом функция F(x,y) F’_x, F’_y непрерывны и F’_y≠0 в окрестности точки (х,у). Тогда функция имеет производную:

y’(x)=-F’_x(x,y)/F’_y(x,y)

Док-во: Продифференцируем по х тождество F(x,y(x))0

F/x*x/x+F/y*y/x0

F’_x+F’_y*y’_x=0  y’(x)=-F’_x/F’_y

35. Производная по направлению.

Предел U/S при S0 называется производной по направлению вектора S^— или l^— и обозначается: U/S либо U/l

U/l=U’_xl_x+U’_yl_y+U’_zl_z

36. Градиент.

Градиентом функции U(x,y,z) называется вектор, обозначаемый gradU=U=(U’_x,U’_y,U’_z)

Градиент функции всегда  поверхности уровня и указывает направление наибольшего возрастания

37. Частные производные высших порядков.

Рассмотрим функцию Z=f(x,y)

Z’_x=Z/x=f/x

Z’_y=Z/y=f/y

Частные производные от этих производных называются вторыми частными производными или производными 2-го порядка.

Z’’_xx=/x(Z/x)=²Z/x²

Z’’_yy=/y(Z/y)=²Z/y²

Смешанные:

Z’’_yx=/y(Z/x)=²Z/xy

Z’’_xy=/x(Z/y)=²Z/xy

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка и от функции с большим числом переменных.

39. Признак полного дифференциала.

Полным дифференциалом Z=f(x,y) называется выражение:

dZ=f/x *dx+f/y *dy

Необходимое условие для полного дифференциала: P/y=Q/x

P(x,y)=f/x

Q(x,y)=f/y

Условие P/y=Q/x является и достаточным, т.е. при выполнении условия Pdx+qdy=F

40. Экстремумы функций двух переменных.

Функция Z=f(x,y) имеет max-м(min-м) в точке M₀(x₀,y₀), если f(x₀,y₀)>f(x,y)( f(x₀,y₀)<f(x,y)). Для всех точек M(x,y) достаточно близких к точке M₀ и отличных от нее max-м и min-м называются экстремумами функции.

41. Необходимое условие существования экстремума.

Т. Если функция Z-f(x,y) достигает экстремума при х=х₀, у=у₀, то каждая частная производная 1-го порядка от Z в точку (х₀,у₀) обращается в 0 или не существует.

Док-во: Пусть у=у₀. Тогда функция f(x,y₀) является функцией одного переменного х. Т.к. в точке х=х₀ имеется экстремум, то производная этой функции f/х_{у=у0, х=х0}=0 или не существует

42. Достаточное условие существования экстремума.

Т. Пусть в некоторой области, содержащей критическую точку M₀(х₀,у₀) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные, для которых f/х(х₀,у₀)=0

Док-во: Обозначим А=²f/x²(х₀,у₀); C=²f/y²(х₀,у₀); B=²f/xy(х₀,у₀)

=AC-B²

Тогда в точке (х₀,у₀):

1)если >0, A<0(C<0)  f(x,y) имеет max-м

2) если >0, A>0(C>0)  f(x,y) имеет min-м

3) если <0  экстремумов нет

4)если =0  экстремумы могут быть и не быть