11. Теоремы о производных.

Т. Производная постоянной = 0 (С’=0, где С=const)

Док-во: Рассмотрим функцию y=C

у=C-C=0  у/х=0  y’=lim_х0 у/х=0

Т. Постоянный множитель можно выносить за знак производной ((CU)’=CU’)

Док-во: Рассмотрим функцию y=CU(x)

у=CU(x+х)-CU(x)=CU

y’=lim_х0 у/х= y’=lim_х0 CU/х=Clim_х0 U/х= CU’

Т. Производная от суммы дифференциальных функций = сумме их производных ((U+V)’=U’+V’)

Док-во: Рассмотрим функцию y=U(x)+V(x)

у=U(x+х)+V(x+х)-U(x) –V(x)=UV

у/х=U/х+V/х

y’= lim_х0 у/х= lim_х0 U/х+ lim_х0 V/х= U’+V’

15. Производные высших порядков.

Производная y’=f’’(x) функции y=f(x) также является функцией х, которая может иметь производную.

Производная от производной – вторая производная (или производная 2-го порядка)

y’’=(y’)’=f’’’(x)

Аналогично, производная от второй производной – 3-ая производная (производная 3-го порядка)

y’’’=(y’’)’

Производная n-го порядка от функции y=f(x) (n-ая производная) производная от производной (n-1)-го порядка.

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’

12. Производная сложной функции.

Сложную функцию y=F[(x)] можно представить в виде:

y=F()

U=(x)

Дополнительную переменную и называют промежуточным аргументом.

Т. Производная сложной функции – произведению производной этой функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по х.

y’(x)=F’(U)_U=(x)* =’(x)

y’_x=F’_UU’_x

Вывод: у=F(U+x)-F(U)

U=(x+x)-(x)

Т.к. U’(x) =’(x), то функция U(x) непрерывна  U0 при х0

Т.к. y’_U=F’_U существует, то F(U) также непрерывна  F0 при U0

y’_x= lim_х0 у/х= lim_х0 y/U*U/х= lim_{(х0)0} y/U* lim_х0 U/х=y’_U*U’_x

16. Теорема Ферма.

Т. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и при этом достигает наибольшего/наименьшего значения во внутренней точке x₀(a,b). Если функция имеет в этой точке (х₀) производную, то f’’(x₀)=0

Док-во: Допустим, что в точке х₀ – наибольшее значение. Это означает, что существует малая окрестность : х(х₀-б, х₀+б), внутри которой f(x)≤f(x₀) или f≤0

Если х(х₀-б, х₀+б), то х=х-х₀>0  f/x≤0  f’’(x₀)=lim_x0+0 f/x≤0  f’’(x₀)=0

Аналогично, если х₀ – точка минимума.

14. Таблица производных.

I. Производная от конкретной функции:

1)C’=0

2)(xⁿ)’=n*x^n-1, x=1/2x, (1/x)’=-1/x², x²=2x

3)(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx, (tgx)’=1/cos²x, (ctgx)’=-1/sin²x

4)(arcsinx)’=1/1-x², (arccosx)’=-1/1-x², (arctgx)’=1/1+x², (arcctgx)’=-1/1+x²

5)(a^x)’=a^xlna, (e^x)’=e^x

6)(logx)’=1/xlna, (lnx)’=1/x

II. Правила дифференцирования функции

1)(СU)’=CU’

2)(U+V)’=U’+V’

3)(UV)’=U’V+UV’

4)(U/V)’=U’V-UV’/V²

III.

1)y=f((x))

y’_x=f’_*’_x

2)y=U^V

y’=VU^V-1U’+U^VlnUV’

3) y=f(x)

x=(y)  f’’_x=1/’_y y=f(x)

20. Правило Лопиталя.

Т. (Правило Лопиталя)

Пусть f(x) и g(x) на [a,b] удовлетворяют условиям т.Коши и обобщается в 0 при х=а: f(b)=f(a)=0

Тогда если существует предел отношения f’’(x)/g’(x) при ха+0, то существует и предел отношения f(x)/g(x) при ха+0

lim _ха+0 f(x)/g(x)= lim _ха+0 f’’(x)/g’(x)

Док-во: При x>a по т.Коши f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’’(c)/g’(c), a<c<x

Если ха+0, то и Са+0

lim _ха+0 f(x)/g(x)= lim _ха+0 f’’(с)/g’(с)=lim _ха+0 f’’(x)/g’(x)