§ 15. Исследование функций при помощи производных

15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции

Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и на , то функция не убывает ( не возрастает) на .

Если на , то возрастает (убывает) на .

Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума) фуннкции , если для всех из некоторой - окрестности точки выполняется неравенство

при .

Максимум () и минимум () называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если функция имеет в точке экстремум и дифференцируема в этой точке, то .

Такие точки называются точками возможного экстремума или критическими или стационарными.

Если – критическая точка, то она может и не быть точкой экстремума.

Например: , при , но в точке нет экстремума.

Поэтому условие является необходимым, но не достаточным, а точка - это точка возможного экстремума.

15.2. Достаточные условия экстремума

Теорема (первое достаточное условие).

Пусть критическая точка. Если при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то является точкой локального максимума.

Если при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то является точкой локального минимума. Если при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в этой точке нет.

Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимум и минимум функции и обозначаются: , . Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Схема исследования функции на экстремум.

Пусть , , – это

критические точки. Отметим их

на числовой прямой.

Из рисунка видно, что

– это точка максимума, тогда

;

– это точка минимума , тогда

;

не является точкой экстремума.

В случае, когда исследование знака первой производной слева и справа от критической точки затруднено, можно использовать второе достаточное условие.

Теорема (второе достаточное условие).

Пусть функция имеет в данной критической точке конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке локальный максимум, если , и локальный минимум если .

15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции

Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда в любой точке этого интервала существует касательная к графику функции , проходящая через точку этого графика.

Будем говорить:

1. график функции на имеет выпуклость, направленную вниз , если он расположен не ниже любой касательной к графику функции на этом интервале;

2) график функции на имеет выпуклость , направленную вверх , если он расположен не выше любой касательной к графику функции на этом интервале.

Если в точке график функции меняет направление выпуклости, то называют точкой перегиба графика.

Необходимое условие точки перегиба.

Если в точке график функции имеет перегиб и непрерывную вторую производную, то .

Следует заметить, что не всякая точка , в которой , является точкой перегиба.

Такие точки будем называть критическими, или точками возможного перегиба.

Например: , , при , но не является точкой перегиба.

Необходимо дополнительное исследование каждой критической точки.

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и . Тогда, если вторая производная при переходе через критическую точку меняет знак, то является точкой перегиба.

Замечание. Если на некотором интервале , то график функции имеет выпуклость вниз, если , то график функции имеет выпуклость вверх.

Схема исследования графика функции на выпуклость.

Пусть в точках и .

Из рисунка видно, что

есть точка перегиба;

не является точкой перегиба.