6.4. Два замечательных предела

Первый замечательный предел.

Докажем это равенство.

Возьмем круг радиуса 1.

Пусть угол радиан.

Тогда дуга радиан, ,

Площадь треугольника .

Площадь сектора .

Площадь треугольника .

или .

,

( по теореме о промежуточной функции )

Следствия: , , , ,

, , .

Пример 1. .

Пример 2. .

Второй замечательный предел.

Две формулировки второго замечательного предела:

Раскрывает неопределенность .

Пример.

Замечание. Второй замечательный предел можно применять и при .

§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

(б.б.ф. и б.м.ф.)

7.1. Бесконечно большие функции и их свойства

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае записывают и говорят функция имеет бесконечный предел в точке .

Краткая запись определения:

Аналогично определяются б. б. ф. при .

Например:

1) при является бесконечно большой функцией.

2) при является бесконечно большой функцией.

Свойства б. б. ф.

1. Сумма конечного числа б. б. ф. есть б. б. ф.

2. Произведение б. б. ф. на число есть б. б. ф.

3. Произведение двух б. б. ф. есть б. б. ф.

7.2. Бесконечно малые функции и их свойства

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если .

Аналогично определяются бесконечно малые функции при .

Бесконечно малые функции иначе называют бесконечно малыми величинами, или бесконечно малыми, и обозначают греческими буквами .

Примеры б. м. ф. функций: при ;

при .

при .

Свойства б. м. ф.

1. Алгебраическая сумма конечного числа б. м. ф. есть б. м. ф.

2. Произведение ограниченной функции на б. м. ф. есть б. м. ф.

3. Произведение б. м. ф. на число есть б. м. ф.

4. Произведение двух б. м. ф. есть б. м. ф.

5. Частное от деления б. м. ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел , есть б. м. ф.

6. Частное от деления функции, имеющей отличный от нуля предел, на б. м. ф. есть б. б. ф.

7. Частное от деления функции, имеющей отличный от нуля предел, на б. б. ф. есть б. м. ф.

8. Если функция является б. м. ф. и не равна нулю, то функция есть б. б. ф. и наоборот, если функция является б. б. ф., то функция есть б. м. ф.

Примеры вычисления пределов с помощью свойств б. б. ф. и б. м. ф.

1.	2.
3.	4.

7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.

Теорема. Если , то ,

где - это б. м. ф. при .

Доказательство.

,

т.е. .

Следовательно это б. м. ф. при , которую обозначим через . Таким образом, ¢.

Теорема. (обратная) Если , то

Доказательство. Так как есть б. м. ф. при , то .

¢