15.4. Асимптоты графика функций
При исследовании
поведения функции при
или вблизи точек разрыва второго рода
часто бывает, что график сколь угодно
близко приближается к той или иной
прямой. Такие прямые называются
асимптотами.
Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
1. Прямая
является
вертикальной
асимптотой,
если хотя бы один из пределов
или
равен
или
.
2. Если
,
то прямая
является горизонтальной
асимтотой.
3. Если существует
такие числа
и
,
что
и
,
то прямая
является наклонной
асимптотой.
Если
,
, то это горизонтальная асимптота.
Если
или
,
то наклонных асимптот у графика нет.
15.5. Общая схема исследования функции
-
Находим область определения функции (если есть точки разрыва, то находим односторонние пределы в этих точках).
-
Проверяем, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
-
Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
-
Находим асимптоты.
-
Определяем промежутки монотонности и экстремумы.
-
Определяем выпуклость графика функции и точки перегиба.
-
Строим график.
Пример. Исследовать
функцию
.
-
Находим область определения функции.
– точка разрыва
2. Определяем четность или нечетность функции.
Функция - общего вида, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
3.Находим точки пересечения с осями координат.
с осью
:
точек пересечения нет;
с осью
:
.
4. Находим асимптоты графика функции.
1)
- это вертикальная асимптота.
2) При
горизонтальных асимптот нет
3)
,
– это наклонная
асимптота.
5
.
Находим промежутки монотонности и
экстремумы функции.
.
при
,
.
Критические точки и точку разрыва функции отмечаем на числовой прямой.
–
это точка максимума функции,
–
это точка минимума функции.
,
.
6
.
Находим промежутки выпуклости и точки
перегиба графика функции.
,
на прямой отмечаем только точку разрыва
функции
7.Строим график функции .
15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Пусть функция
определена и дифференцируема на отрезке
.
Она может достигать своего наибольшего
и наименьшего значения на отрезке
в точках экстремума, принадлежащих
этому отрезку или на концах отрезка :
в точках
и
.
План исследования.
-
Находим точки, принадлежащие отрезку
,
в которых
.
-
Находим значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.
-
Выбираем самое наибольшее и самое наименьшее значения функции.
Они обозначаются
так:
и
.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
1. Находим точки,
принадлежащие отрезку
,
в которых
.
2. Находим значения функции в выбранных точках и на концах отрезка.
;
;
.
3. Выбираем самое наибольшее и самое наименьшее значения функции.
Ответ:
и
.