§ 9. Непрерывность функции

9.1. Односторонние пределы

Пусть .

Переменная может стремиться к по-разному:

1. оставаться меньше, чем ( слева от);

2. оставаться больше, чем (справа от ).

Если рассматривать , то число называется левосторонним пределом функции в точке . Обозначается так: .

Если рассматривать , то число называется правосторонним пределом функции в точке .

Обозначается так: .

Эти пределы называются односторонними пределами функции.

2. Понятие непрерывности функции

Определение 1. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется условие .

Можно дать еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем понятия приращения аргумента и приращения функции.

Пусть функция определена в некотором интервале, и – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность называется приращением аргумента в точке . Разность называется приращением функции в точке .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала и в точке непрерывна справа (т. е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).

Важное значение для исследования непрерывности функции имеют следующие теоремы:

1. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

2. Если и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны функции ; ; при .

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

4. Если функция непрерывна и строго монотонна на отрезке оси , то и обратная ей функция непрерывна и строго монотонна на соответствующем отрезке оси .

2. Классификация точек разрыва функции

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого и второго рода.

Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы:

и .

При этом: а) если то точка разрыва называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка разрыва называется точкой конечного разрыва.

Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в точке .

¦ 1) По первому определению: .

2) По второму определению:

. ˜

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность.

¦ – точка разрыва.

не существует, в других точках .

– устранимый разрыв.

Функцию в точке можно доопределить

˜

Пример 3. Найти точки разрыва функции и определить их вид.

¦

в точке разрыв первого рода.

в точке функция непрерывна.

˜

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность

в точках и .

¦

1) – функция непрерывна.

2) не существует – следовательно, - точка разрава

Имеем разрыв II рода.

. ˜