3.3. Розрахунок згинальних елементів

Розрахунок розтягнутих і стиснутих елементів виконують тільки за І гр. граничних станів.

Розрахунок згинальних елементів виконують за двома групами граничних станів:

за І групою - розрахунок на міцність за максимальними нормальними, максимальними дотичними, місцевими і зведеними напруженнями;

• розрахунок загальної та місцевої стійкості;

за ІІ групою - розрахунок на жорсткість (за прогинами).

Граничний стан за втратою міцності розглядають для двох розрахункових випадків:

1. при роботі матеріалу в межах пружності;

2. з врахуванням розвитку обмежених пластичних деформацій.

Крім цього згин може бути в одній площині (прямий згин) або в двох взаємно перпендикулярних площинах (косий згин).

Розрахунок згинальних елементів в одній площині

( прямий згин) в пружній стадії роботи металу

Рисунок 3.7 - Розрахункова схема балки та епюри напружень

Індекс “f” означає, що розмір належить до поясу, “w” – до стінки.

При роботі балки в межах пружності епюра нормальних напружень має трикутну форму і граничний стан наступає тоді, коли напруження в крайніх волокнах перерізу досягають межі текучості.

Умова міцності балки за максимальними нормальними напруженнями має вигляд:

M_max

_max =   R_y _c ,

W_n, _min

де M_max – max розрахунковий згинаючий момент;

W_n, _min – min момент опору перерізу “нетто”.

Умова міцності за максимальними дотичними напруженнями:

Q_max · S_x

_max=   R_s _c , (формула Журавського);

I_x · t_w

де Q_max – max розрахункова поперечна сила;

S_x – статичний момент площі половини перерізу;

I_x – осьовий момент інерції;

t_w – товщина стінки;

R_s – розрахунковий опір сталі зрізу

R_yn

R_s= 0,58  = 0,58 R_y .

_m

Якщо до верхнього поясу балки прикладені зосереджені сили (рис.3.8), то в її стінці на рівні з'єднання з полицею виникають місцеві (локальні) напруження _loc, епюра яких показана на рисунку.

Рисунок 3.8 - До виникнення місцевих напружень

Коли максимальні місцеві напруження _loc досягають граничного значення (межі текучості), наступає граничний стан. Перевірка на міцність від місцевого стиску (за максимальними місцевими напруженнями) виконується за формулою

F

_loc =   R_y_c ,

t_w· l_ef

де _loc – місцеві (локальні) напруження;

l_ef – умовна довжина розподілення навантаження; залежить від конструктивного рішення прикладання навантаження і визначається за нормами проектування.

Я кщо під зосередженими силами стінка балки укріплена поперечними ребрами жорсткості (рис.3.9), то _loc=0.

Рисунок 3.9 - Укріплення стінки ребрами жорсткості

Роздільні перевірки за _max, _max i _loc проводяться в тих перерізах, де кожне з цих напружень досягає найбільшого значення:

_max – в перерізі з M_max;

_max – в перервзі з Q_max;

_loc – під зосередженою силою.

В розрізних балках перерізи з _max i _max, як правило, не співпадають, а тому їх і перевіряють окремо, і називають ці перевірки роздільними.

Але по всій довжині балки за виключенням окремих перерізів (середнього та крайніх) M i Q діють одночасно. А тому додатково до роздільних перевірок необхідна перевірка на сумісну дію ,  і _loc. Це перевірка міцності за зведеними (максимальними сумарними) напруженнями:

Якщо _loc=0, то формула приймає вигляд:

де _red – зведені напруження. Вони визначаються:

по довжині балки – в тому перерізі, де одночасно великі значення і М, і Q (для схеми, показаної на рис.3.10, це переріз 1-1, в якому діють зусилля М₁ і Q₁);

п о висоті перерізу – в тій точці, де одночасно великі значення  і . Це точка з'єднання стінки з полицею, яка належить стінці (точка 1).

Рисунок 3.10 - До визначення зведених напружень

В цих формулах:

₁ – нормальні напруження в т.1 (на краях стінки)

М₁ I_x

₁ =  ; W₁ =  ;

W₁ h_w/2

₁ – дотичні напруження в т.1

Q₁ · S₁

₁ =  ;

I_x · t_w

S₁ – статичний момент відносно нейтральної осі частини площі перерізу, яка знаходиться вище або нижче волокон, що розглядаються, тобто статичний момент площі пояса відносно нейтральної осі.

Ще раз слід звернути увагу на те, що в цих формулах напруження ₁, ₁ і _loc визначаються в одному і тому ж перерізі по довжині балки, і в одній і тій же точці по висоті перерізу.

Розрахунок згинальних елементів в двох площинах (косий згин) в пружній

стадії роботи металу

Згин в двох площинах називають косим згином. Він має місце в тому випадку, коли напрямок дії зовнішнього навантаження не співпадає ні з однією з центральних осей перерізу.

П окажемо це на прикладі роботи прогонів.

Рисунок 3.11 - До розрахунку елементів на косий згин

П окажемо епюри напружень в двох площинах.

Рисунок 3.12 - Епюри напружень при косому згині

Нормальні напруження визначаються за формулою:

M_x M_y

 =  · y   · x  R_y _c ,

I_{x, n} I_{y, n}

де М_х, М_у – розрахункові значення згинаючих моментів, діючих перпендикулярно відповідно осям х-х і у-у. М_х викликаний дією q_x; М_у викликаний дією q_y;

I_{x, n} та I_{у, n} – моменти інерції перерізу “нетто” відносно осей х-х та у-у;

х та у – координати точки поперечного перерізу, в якій визначення , відносно головних осей, наприклад для точки 4

Рисунок 3.14 - До визначення координат точок

“” в формулі враховує той факт, що в одних і тих же точках поперечного перерізу від q_x і q_y можливі напруження з різними знаками:

знак “+” в формулі – для т.1 і 3;

знак “-“ в формулі – для т.2 і 4.

Перевірка загальної стійкості згинальних елементів

Втрата загальної стійкості балок відноситься до І гр. граничних станів.

Е ксперименти показують, що втрата несучої здатності згинальних елементів частіше всього відбувається від втрати загальної стійкості, і дуже рідко від руйнування внаслідок недостатньої міцності матеріалу.

Суть проблеми загальної стійкості полягає в слідуючому.

Доки навантаження F не досягне критичного значення, буде відбуватися плоский згин балки. При критичному навантаженні балка втрачає плоску форму і починає працювати не тільки на згин в вертикальній площині, а й на згин в горизонтальній площині і на кручення. В результаті балка руйнується.

Явище, в результаті якого відбувається випучування балки в сторону з площини згину (втрата плоскої форми) і її закручування при напруженнях в крайніх волокнах, менших за межу текучості, називається втратою загальної стійкості.

Перевірка загальної стійкості згинальних елементів виконується за формулою:

M

 =   R_y _c .

_вW_c

Коефіцієнт _в називається коефіцієнтом зниження розрахункового опору при згинально-крутильній формі втрати стійкості згинальних елементів, _в < 1 і визначається за СНиП.

Перевірка пружних деформацій, які порушують нормальні умови експлуатації

Перевірка виконується за ІІ гр. граничних станів.

Прогини згинальних елементів перевіряють від найбільш несприятливої комбінації нормативних навантажень за пружної стадії роботи матеріалу.

Перевірка виконується саме від нормативних навантажень, а не розрахункових, оскільки перевірка за ІІ групою граничних станів є менш відповідальною, ніж за І групою.

В МК перевіряють не абсолютний, а відносний прогин (рис.3.13).

Рисунок 3.13 - До перевірки відносного прогину

де f_max – max абсолютний прогин, обчислений від дії нормативних навантажень. Визначається за формулами будівельної механіки;

l – проліт балки;

- граничний відносний прогин, він залежить від призначення елеме та умов його роботи і визначається в основному вимогами зручності експлуатації.

Розрахунок позацентрово навантажених елементів

Довгі гнучкі та короткі жорсткі позацентрово навантажені елементи залежно від розрахункової схеми можуть бути позацентрово розтягнутими (розтягнуто-зігнутими) і позацентрово стиснутими (стиснуто-зігнутими).

До позацентрово розтягнутих відносять елементи, в яких одночасна робота на розтяг та згин може відбуватися як від позацентрово розміщених розтягуючих сил (рис.3.14,а), так і від спільної дії сил, центрально розтягуючих елемент, та сил, що викликають поперечний згин (рис.3.14,б).

У позацентрово стиснутих елементах (рис.3.14,в) стискаюча сила прикладається з ексцентриситетом “е”. При одночасному прикладанні поздовжньої осьової стискаючої сили і поперечного навантаження, яке викликає згин, стержень буде стиснуто-зігнутим (рис.3.14,г).

Рисунок 3.14 - Розрахункові схеми позацентрово навантажених елементів

Розрахунок позацентрово навантажених елементів ведуть за І гр. граничних станів, а саме:

• позацентрово розтягнутих і коротких позацентрово стиснутих – на міцність в пружній стадії роботи сталі або з врахуванням розвитку пластичних деформацій;

• довгих гнучких позацентрово стиснутих – на стійкість.

Розрахунок позацентрово розтягнутих і коротких позацентрово стиснутих елементів, виконаних із сталі високої міцності з межею текучості _у>530 МПа, при дії статичного та динамічного навантаження слід виконувати за формулою:

N M_x M_y

 =    · y   · x  R_y_c ,

A_n I_{x, n} I_{y, n}

де N, M_x i M_y – абсолютні значення відповідно поздовжньої сили і згинаючих моментів при найбільш несприятливому їх сполученні;

х і у – координати точки перерізу, що розглядається, відносно його головних осей.

Стиснуто-зігнуті стержні прирівнюються до позацентрово стиснутих і обидва види стержнів розраховуються однаково.

Основними перевірками для довгих позацентрово стиснутих елементів є дві перевірки стійкості: в площині і з площини дії момента.

У мова стійкості в площині дії момента дії момента має вигляд

де _е – коефіцієнт зниження розрахункового опору при позацентровому стиску для запобігання втрати стійкості, _е визначається за СНиП залежно від конструктивного оформлення стержня.

_е < 1.

Р озрахунок на стійкість позацентрово стиснутих елементів постійного перерізу з площини дії моменту при згині їх в площині найбільшої жорсткості (І_х > І_у), яка співпадає з площиною симетрії, слід виконувати за формулою:

де с – коефіцієнт, який обчислюється за СНиП;

_у –коефіцієнт поздовжнього згину, що визначається як для центрально стиснутого стержня за гнучкістю _у (табл.72 СНиП);