- •1. Предмет теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Теорема сложения вероятностей и ее следствия
- •Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей.
- •3. Формулы полной вероятности и формула Байеса
- •Определение
- •Свойства
- •Тождества
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Свойства
- •Свойства коэффициента корреляции
- •11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Свойства
- •Определение
- •Свойства распределения Пуассона
- •Равномерное распределение.
- •Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •Исправленная выборочная дисперсия
- •Определение
Классическое определение вероятности
Вероятностью события называется отношение числа исходов , благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных): .
Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.
Геометрическое определение вероятности
Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события есть отношение меры (длины, площади, объема) к мере пространства элементарных событий.
2. Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation). Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки - СВА. Число всех перестановок из n элементов
Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement). Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА - это два разных размещения. Число всех размещений из n по m
Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination). Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех размещений из n по m
Теорема сложения вероятностей и ее следствия
Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:
.
Доказательство. Очевидно:
;
Тогда
.
Поскольку события и несовместны, то по аксиоме :
.
События и несовместны, и по аксиоме :
.
События и несовместны, по аксиоме :
.
Итак,
Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:
Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых:
- формула включений и исключений.
Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Условная вероятность
Наступление события может повлиять на вероятность появления события . Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события .
Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события и обозначается
.
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:
Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.
Пусть:
-
событие появилось в исходах опыта;
-
событие появилось в исходах опыта;
-
событие появилось в исходах опыта.
Вероятность события вычислим по классическому определению. Поскольку событие произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом из этих возможных исходов благоприятны событию те исходы, которые составляют событие , т.е. исходов:
,
или
.
Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:
Следствие 2. Обобщим теорему на случай событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:
.
Теорема умножения для независимых событий
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
Для независимых событий теорема умножения Р (AB) = Р (А) РА (В) имеет вид
Р (АВ) = Р (А) Р (В)
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.
Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события “первое орудие поразило цель” и “второе орудие поразило цель” независимы