Центральная предельная теорема Ляпунова.

Пусть случайные величины независимы и одинаково распределены. Рассмотрим случайные величины , где . Пусть

.

Тогда, при , функция распределения случайной величины сходится к функции распределения нормального закона с , .

В частности, для любых фиксированных ,

.

Точнее, при , предел отношения правой и левой частей формулы равен 1.

Если требуется определить вероятность попадания в некоторый интервал не величины , а среднего арифметического

,

то можно воспользоваться формулой

14. Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Вариационный ряд - совокупность величин, расположенных в порядке их возрастания. Вариационный ряд полностью определяется указанием различных значений входящих в него величин и числа членов ряда.

 Эмпирическая функция распределения

где n_x - число выборочных значений, меньших x; n - объем выборки.

     Выборочное среднее

(несмещенная, состоятельная оценка математического ожидания)

где x_i - выборочные значения; n - объем выборки.

     Выборочная дисперсия

(смещенная, состоятельная оценка дисперсии)

Исправленная выборочная дисперсия

(несмещенная, состоятельная оценка дисперсии)

Доверительные интервалы с коэффициентом доверия p в случае нормально распределенной генеральной совокупности

     1. Для математического ожидания при известной дисперсии

где t_p - корень уравнения ; - функция Лапласа.

     2. Для математического ожидания при неизвестной дисперсии

s² - выборочная дисперсия; t_p удовлетворяет условию P(|t_n-1| < t_p) = p; t_n-1 - случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы.

     3. Для дисперсии

где , находятся из условий:

- случайная величина, распределенная по закону с n - 1 степенями свободы.

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Все население	В том числе в возрасте
	до 10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70 и старше	Всего
Численность населения	12,1	15,7	13,6	16,1	15,3	10,1	9,8	7,3	100,0

Рис. 6.2. Распределение населения России по возрастным группам

Условие: Приводится распределение 30 работников фирмы по размеру месячной заработной платы

Размер заработной платы руб. в месяц	Численность работников чел.
до 5000	4
5000 — 7000	12
7000 — 10000	8
10000 — 15000	6
Итого:	30

Доверительный интервал в математической статистике — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он накрывает данный параметр с заданной вероятностью.