Определение

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция , задаваемая формулой:

.

Свойства

• F_X непрерывна справа:^[1]

• F_X не убывает на всей числовой прямой.

• .

• .

• Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.

  • Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.

• По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x + ) в любой точке , и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке.

  • В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x − ) в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что , таких что a < b:

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Числовые характеристики дискретных случайных величин

\

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

0Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий .

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что

Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.

0Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. Если x и y независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.

7. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Биномиальное распределение

Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину x , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли

, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n, , Mx = np, Dx = npq, .

Геометрическое распределение

Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой

p_k = P(x= k) = q^k-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , , , .

Гипергеометрическое распределение

В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:

, k = 0, 1, …, min(n,M), ,

, .

8. одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается .

Точнее. На вероятностном пространстве заданы случайные величины ; каждому w W эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

 

Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.

 

Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством

,

где .

По известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .

Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:

, .

В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.

Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W  на плоскости вероятность события равна

.

Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.

Легко показать, что .

Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:

и .

Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин и чаще всего называют таблицу вида

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

где и .

По этой таблице можно найти распределения и компонент x и h . Они вычисляются по формулам:

.

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если  .- случайная величина, то функция F(x) = F_ (x) = P( < x) называется функцией распределения случайной величины  . Здесь P( < x) - вероятность того, что случайная величина  принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

• F(x) определена на всей числовой прямой R;

• F(x) не убывает, т.е. если x₁x₂, то F(x₁) F(x₂);

• F(-)=0, F(+)=1, т.е. и ;

• F(x) непрерывна справа, т.е.