Регрессионный анализ

Прямолинейная корреляция отличается тем, что при этой Форме связи каждому значению одного признака соответствует определенное в среднем значение другого признака.

Та величина, на которую в среднем изменяется второй признак при изменении первого на единицу, называется коэффициентом рег­рессии.

Для расчета коэффициента регрессии используется следующая фор­мула:

Рассмотрим методику расчета коэффициента регрессии на примере.

При анализе физического развития 7-летних мальчиков были полу­чены следующие средние значения роста (X) и массы тела (У):

X = 118.4 см	х = +/-6.0 см
У = 24.0 кг	у = +/-2.6 кг

Коэффициент корреляции между весом и ростом составил +0.7. Расчет коэффициента регрессии выполняется по формуле:

Следовательно, с изменением роста 7-летних мальчиков на 1 см. масса тела в среднем изменяется на 0.3 кг.

С помощью коэффициента регрессии без специальных измерений можно определить величину одного из признаков (например, массы тела), зная значение другого (роста). С этой целью используется уравнение линейной регрессии:

у = M_y + R_xy(х - М_х),

где у - искомая величина массы тела;

M_y - среднее значение массы тела, характерное для данного

возраста;

R_xy - коэффициент регрессии массы тела по росту;

х - известная величина роста;

М_х - средне значение роста.

Определим, какова будет масса тела 7-летнего мальчика при рос­те 120 см.

у = М_y + R_xy(х - М_х) = 24 + 0.3(120 - 118) = 24.6 кг

Коэффициенты регрессии и уравнения регрессии широко применяют­ся для составления шкал регрессии, которые используются при инди­видуальной оценке физического развития.

Критерий соответствия Хи-квадрат. Понятие о «нулевой гипотезе», этапы расчета критерия соответствия. Применение в практическом здравоохранении.

Нулева́я гипо́теза — гипотеза, которая проверяется на согласованность с имеющимися выборочными (эмпирическими) данными. Часто в качестве нулевой гипотезы выступают гипотезы об отсутствии взаимосвязи или корреляции между исследуемыми переменными, об отсутствии различий (однородности) в распределениях (параметрах распределений) двух и/или более выборках. В стандартном научном подходе проверки гипотез исследователь пытается показать несостоятельность нулевой гипотезы, несогласованность её с имеющимися опытными данными, то есть отвергнуть гипотезу. При этом подразумевается, что должна быть принята другая, альтернативная (конкурирующая), исключающая нулевую, гипотеза. Используется при статистической проверке.

Критерий хи-квадрат — любая статистическая проверка гипотезы, в которой выборочное распределение критерия имеет распределение хи-квадрат при условии верности нулевой гипотезы. Считается, что критерий хи-квадрат — это критерий, который асимптотически верен, то есть, выборочное распределение можно сделать как угодно близким к распределению хи-квадрат путём увеличения размера выборки.

ТАБЛИЦА ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИЙ КРИТЕРИЯ СООТВЕТСТВИЯ «ХИ-КВАДРАТ»

Число степеней свободы (n´)	Р (величина ошибки)
	0,05 = 5%	0,01 = 1%	0,002= 0,02%
1	3,8	6,6	9,5
2	6,0	9,2	12,4
3	7,8	11,3	14,8
4	9,5	13,3	16,9
5	11,1	15,1	18,9
6	12,6	16,8	20,7
7	14,1	18,5	22,6
8	15,5	20,1	24,3
9	16,9	21,7	26,1
10	18,3	23,2	27,7
11	19,7	24,7	29,4
12	21,0	26,2	31,0
13	22,4	27,7	32,5
14	23,7	29,1	34,0
15	25,0	30,6	35,5
16	26,3	32,0	37,0
17	27,6	33,4	38,5
18	28,9	34,8	40,0
19	30,1	36,2	41,5
20	31,4	37,6	43,0
21	32,7	38,9	44,5
22	33,9	40,3	46,0
23	35,2	41,6	47,5
24	36,4	43,0	48,5
25	37,7	44,3	50,0
26	38,9	45,6	51,5
27	40,1	47,0	53,0
28	41,3	48,3	54,5
29	42,6	49,6	56,0
30	43,8	50,9	57,5

Нулевая гипотеза предполагает, что две совокупности, сравниваемые по одному или нескольким признакам, не отличаются друг от друга. При этом считается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по фактическим данным отличие от нуля носит случайный характер.

Для определения, существует или нет зависимость между двумя признаками используется таблица сопряженности двух переменных и критерий хи-квадрат. Как правило, критерий хи-квадрат применяется для анализа таблиц сопряженности номинальных признаков, однако он может использоваться и при анализе взаимосвязи порядковых, или интервальных переменных. Если, скажем, было выяснено, что две переменные не связаны друг с другом, то их дальнейшим исследованием заниматься не стоит. Некоторые указания на связь скорее были обусловлены ошибкой выборки. Если же тест на хи-квадрат указал на связь, то она существует в реальности для генеральной совокупности и ее, возможно, следует изучать. Однако этот анализ не указывает на характер связи.

[сделать другую аналогию какой фактор и заболевание] –Предположим, что изучалась лояльность к определенной марке пива среди служащих и рабочих (двумя переменными, измеренными в шкале наименований). Результаты опроса затабулированы в следующем виде:

Таблица – Матрица сопряженности частот

	Покупатели	Непокупатели	Сумма
Служащие	152	8	160
Рабочие	14	26	40
Сумма	166	34	200

Матрица содержит наблюдаемые частоты, которые сравниваются с ожидаемыми частотами, определяемыми как теоретические частоты, вытекающие из принимаемой гипотезы об отсутствии связи между двумя переменными (выполняется нулевая гипотеза). Величина отличия наблюдаемых частот от ожидаемых выражается с помощью величины хи-квадрата. Последняя сравнивается с ее табличным значением для выбранного уровня значимости. Когда величина хи-квадрата мала, то нулевая гипотеза принимается, а, следовательно, считается, что две переменные являются независимыми и исследователю не стоит тратить время на выяснение связи между ними, поскольку связь является результатом выборочной ошибки.

Можно рассчитать ожидаемые частоты приведённого примера, пользуясь таблицей частот:

Ожидаемая частота для ячейки = Сумма для столбца, умноженная на сумму для ряда/Общая сумма

Ожидаемая частота для служащих-покупателей = 160·166/200 = 132,8;

Ожидаемая частота для служащих-непокупателей = 160·34/200 = 27,2;

Ожидаемая частота для рабочих-покупателей = 40·166/200 = 32,2;

Ожидаемая частота для рабочих-непокупателей = 40·34/200 = 6,8.

где Vk – наблюдаемая частота в ячейке;

Pk – ожидаемая частота в ячейке;

n – число ячеек матрицы

Из таблицы критических значений хи-квадрата (стандартные статистические таблицы) вытекает, что для числа степеней свободы, равному в приведённом примере 1 (число степеней свободы = число исследуемых групп – 1), и уровня значимости альфа = 0,05 (допустимая ошибка) критическое значение хи-квадрата равно 3,841. Видно, что расчетное значение хи-квадрата существенно больше его критического значения. Это говорит о существовании статистически значимой связи между родом деятельности и лояльностью к исследованной марке пива, и не только для данной выборки, но и для совокупности в целом. Из таблицы следует, что главная связь заключается в том, что рабочие покупают пиво данной марки реже по сравнению со служащими.