Pakhomov_A_N__Krivenkov_M_V_Elektricheskiy_privod_uchebnoe_posobie

21

Из условия равновесия системы с учетом (2.3) имеем:

M 2 = jM1 = cϕ2Δϕ2 = jcϕ1Δϕ1 ,

откуда

c	= jc		Δϕ1	= j2c		.	(2.2)
ϕ2		ϕ1	Dj2		ϕ1
При повороте ведомого		колеса 2			ременной		(цепной) передачи

(рис. 2.3, г) на угол Dj2 и закрепленном ведущем колесе 1 в натянутой ветви возникает сила Fl = kпсl Δϕ2r2 , где r2 – радиус ведомого звена, cl = cр – жест-

кость ремня (цепи) на растяжение, kп – коэффициент вида передачи (для ременной передачи kп = 1, цепной – kп = 2). Аналогично формуле (2.2) получим коэффициент жесткости, приведенный к ведомому звену 2:

c	=	M 2	=	Fрr2	= k c r 2 .
ϕ2		Dj2		Dj2	п р 2

Обычно коэффициент жесткости ременной передачи не превышает 0,2 МН/м, а цепной – 1 МН/м. Аналогичный показатель зубчато-реечных передач достигает 100-300 МН/м, а редукторов – 10 МН×м/рад. Коэффициент крутильной жесткости полужесткой дисковой (пальцевой) муфты зависит от

числа пальцев z, радиуса их			расположения R и толщины муфты h:
c	= A zGhR2	, где G = 19,62´1010	Н/м2 – модуль упругости II рода для стали,
ϕ	м

Aм = 1¸5 – безразмерный коэффициент, характеризующий упругую часть диска между двумя смежными пальцами. Коэффициент жесткости цилиндриче-

ского вала радиусом r и длиной l определяется по формуле cϕ = pGr4 /(2l) .

2.3. Диссипативные силы и их влияние в электромеханических системах

При деформациях элементов в механической части электропривода возникают не только упругие силы, но и силы сопротивления. В отличие от упругих сил, являющихся консервативными (приводят к перераспределению кинетической энергии в элементах), силы сопротивления приводят к рассеиванию (диссипации механической энергии), т.е. к превращению ее в тепловую или иные виды. В зависимости от физической природы диссипативные силы делятся на силы внутреннего трения в материалах упругих элементов и силы внешнего трения, возникающие в местах соединения отдельных элементов

22

упругих звеньев вследствие их конструктивного исполнения. Точный учет таких сил произвести очень сложно, поэтому в теории электропривода их учитывают приближенно путем введения коэффициента сопротивления b [9]. Силы диссипации пропорциональны скорости деформации механического элемента, поэтому момент, связанный с наличием угла закручивания j в упругом вращающемся элементе, будет равен

M = M у + M дс = сϕΔϕ + bΔω ,

где Му и Мдс – моменты упругих и диссипативных сил соответственно. Обычно силы внутреннего трения невелики. В частности, для большин-

ства станков коэффициент составляет 0,0001–0,01 Н×с/мкм.

2.4.Силы и моменты, действующие в системе электропривода

Вустановившемся режиме работы электропривода электромагнитный

момент двигателя Mд уравновешивается моментами сопротивления РМ или ее РО Mро, обусловленными силами полезных и паразитных сопротивлений (рис. 2.4, б). Эти моменты, пересчитанные на угловую скорость вала двигателя, называют приведенными статическими моментами Mc. В качестве при-

мера на рис. 2.4, а приведены зависимости Mд(w) основных типов двигателей: 1 – синхронного; 2 – постоянного тока с независимым (параллельным) возбуждением; 3 – асинхронного; 4 – постоянного тока с последовательным возбуждением. Такие зависимости принято называть механическими характери-

стиками ЭДУ.

ω		ω	2
	1	1
			3
	2
	3
	4		4
Mc	M		M
	а		б
	Рис. 2.4

23

Как правило, статические моменты (силы) препятствуют движению и лишь в некоторых случаях способствуют ему. Поэтому все статические моменты делят на реактивные и активные (потенциальные).

Активные (потенциальные) моменты (силы) связаны с перераспреде-

лением потенциальной энергии отдельных элементов привода. Они создаются силами веса, а также силами сжатия, растяжения и скручивания упругих тел. Такие моменты и силы не изменяют своего знака при изменении направления движения – на рис. 2.4, б при смене знака скорости ω активные моменты изображены в виде пунктирных линий в IV квадранте.

Реактивные моменты (силы) препятствуют движению и меняют свой знак при изменении направления движения – на рис. 2.4, б при смене знака скорости ω реактивные моменты изображены в III квадранте. К ним относят все моменты, связанные с силами трения, и рабочие моменты не потенциальных сил.

Характеристика 1 (Mc = const) на рис. 2.4, б соответствует различным подъемным механизмам с активным моментом сопротивления, а также механизмам подачи или горизонтального перемещения с реактивным моментом. Линейно-возрастающей характеристикой 2 (Mc = kω) обладают некоторые типы деревообрабатывающих станков. Параболическую характеристику 3 (Mc = a + bω2) имеют вентиляторы, центробежные насосы и компрессоры. Характеристику 4, близкую к гиперболической зависимости (Mc = с/ω), можно отнести к главным приводам токарных и фрезерных станков, а также различным наматывающим устройствам.

2.5. Приведение моментов и сил сопротивления

Механическая часть электромеханической системы может содержать большое количество звеньев и иметь сложную кинематическую цепь. Для упрощения и удобства исследования таких систем используют операции приведения всех параметров движения к одной оси, например, к валу двигателя. Эти операции существенно отличаются для механических систем, имеющих жесткие и упругие кинематические цепи.

Если механическая часть электропривода имеет жесткие кинематические связи между звеньями, то на любом элементе такой системы, движущемся со скоростью вала двигателя или одного из РО, можно исследовать движение всего электропривода.

Процесс приведения системы предусматривает, прежде всего, приведение моментов (сил). На основании закона сохранения кинетической энергии можно записать равенство мощностей на валах двигателя и РО машины без учета потерь в ПУ (учет потерь изложен в разд. 2.11):

M cωд = M роωро ,

24

где Мс – статический момент, приведенный к валу двигателя. Тогда

M		= M		ωро	=	M ро	.	(2.3)
	c		ро ω
						j
				д
При наличии в ПУ нескольких					передач с передаточными			числами

j1, …, jn приведенный статический момент равен:

= M ро

M c n .

∏ ji

i=1

Если РО машины имеет поступательное движение, а двигатель – вращательное, то выражение (2.3) примет вид:

M = Fро vро = Fроρ ,

c ωд

где ρ – радиус приведения.

Аналогично могут быть получены формулы приведения моментов к другой оси СЭП.

2.6. Приведение инерционных масс

Момент инерции одного тела вычисляется по формуле

J = mrи2 ,

где m – масса тела, rи – радиус инерции.

Для приведения моментов инерции используется равенство кинетической энергии в приведенной и исходной механических системах. Например, для СЭП рис. 2.1, а получим (без учета малых инерционных масс муфт):

W = J

ωд2

= J

ωд2

+ J

ωд2

+ J

ω12

+ J

ω12

+ J

ωро2

+ J

ωро2

,

пр 2

д 2

1 2

2 2

3 2

4 2

ро 2

кин

где Jпр – момент инерции системы, приведенный к валу двигателя.

25

Следовательно,

J

= J

+ J

+

J

2

+ J

3

+

J4

+ Jро

,

пр

д

1

j2

j2 j2

1

1

2

где j1 = ωд / ω1 и j2 = ω1 / ωро –

передаточные отношения звеньев ПУ.

Иногда в каталогах для двигателей указывается значение махового момента GD2 (кг×м2), из которого легко определить момент инерции:

GD2 = m(2rи)2 = 4Jд ,

откуда

Jд = GD2 , 4

где G = m – масса вращающихся частей, D – диаметр инерции.

Приведение масс, движущихся поступательно, к вращательному движению (рис. 2.1, в) осуществляется также на основе баланса кинетической энергии:

W = J		ωд2	= J		ωд2	+ m	v2	,
	пр 2			дб 2
кин						2

где Jдб = Jд + Jб – момент инерции ротора двигателя и барабана грузоподъ-

емного устройства, m и ν – масса и линейная скорость перемещаемого груза. Следовательно,

2

Jпр = Jдб + m ωv 2д = Jдб + mρ2 .

Такими же способами можно привести моменты инерции к валу РО.

2.7. Приведение упругих моментов и моментов диссипативных сил

Расчетная схема механической части электропривода с податливыми и упругими звеньями получается на основе операции ее приведения к двухмассовой системе с приведенной жесткостью cпр и приведенным коэффициентом сопротивления bпр.

Критерием приведения является равенство запаса потенциальной энергии [5] в реальной и расчетной схемах (рис. 2.5):

26

	(ϕ − ϕ		)2		(ϕ − ϕ )2
3		2		3		1
Wпот = сϕ				= спр			,
		2				2

откуда приведенный первой оси коэффициент жесткости будет равен:

с = с

(ϕ3 − ϕ2 )2

=

сϕ

.

пр

ϕ (ϕ − ϕ )2

j2

ω1

3

1

ω1

ω3

J1

ω2

ω3

j

cϕ

cпр

J1

J2

ϕ1

J2

ϕ b

ϕ

ϕ1

bпр ϕ3

2

3

а

б

Рис. 2.5

Для поступательного движения (рис. 2.1, в) равенство потенциальной энергии для приведенного и реального звена запишется в виде:

W	= с	Δϕ2	= с	l 2	,
пот	пр	2	l	2

тогда приведенный коэффициент жесткости равен:

2

спр = сl Δϕl 2 = сlρ2 .

При последовательном соединении упругих элементов в механической части электропривода (рис. 2.6, а) угол Δϕ =ϕ3 – ϕ1 закручивания всей системы можно записать в виде суммы углов закручивания между отдельными ее звеньями:

Δϕ = (ϕ2 − ϕ1) + (ϕ3 − ϕ2 ) = M + M = M , cϕ1 cϕ2 cпр

откуда возможно определить приведенный коэффициент жесткости:

27

cпр =		1				или eпр = e1 + e2 ,
		1	+	1
				cϕ2
		cϕ1

где e = cϕ-1 – податливость упругих элементов системы. Физически податливость определяет деформацию элемента под воздействием упругого момента, а коэффициент жесткости – величину упругого момента при определенной деформации [5].

cϕ1	M			cϕ1	M1	M
	cϕ2
J1		J2	J1	cϕ2	M	J2
ϕ1 ϕ2	ϕ3			ϕ1	2	ϕ2
а				б
			Рис. 2.6

Итак, приведенная податливость упругой кинематической схемы равна сумме податливостей последовательно соединенных элементов, приведенных к оси входного элемента системы.

При параллельном соединении упругих элементов механической части электропривода (рис. 2.6, б) справедливо следующее равенство:

M = M1 + M 2 = cϕ1Δϕ + cϕ2Δϕ = cпрΔϕ ,

где Δϕ = ϕ2 − ϕ1 . Следовательно, приведенный коэффициент жесткости равен сумме коэффициентов жесткости всех элементов:

cпр = cϕ1 + cϕ2	или eпр =		1				.
			1
				+	1
					e2
			e1

Приведенные формулы для cпр справедливы и для коэффициента bпр .

Рассмотрим модель механической части привода (рис. 2.7), содержащую редуктор с податливым звеном передачи, упругие муфты и растягивающийся под действием нагрузки канат.

28

	ωд	Mд Mдб сϕ1 ω1
	Jд		ω2 сϕ3		ωб	J	rб
	ϕд	b1 ϕ j						Mдб
						б
		1
		сϕ2
		b2	ϕ	b3	ϕб		сl4		Mс
			2					ν
							b4

F=mg

c

Рис. 2.7

Приведение такой упругой системы, как было сказано выше, заключается в представлении ее как двухмассовой системы (рис. 2.5, б) с приведенной жесткостью cпр и приведенным коэффициентом сопротивления bпр:

cпр =					1						(2.4)
				1		j2
		1	+		+		+	1
								c	r2
		с		с		с
		ϕ1		ϕ2		ϕ3		l 4

и

bпр =					1					(2.5)
				1		j2
		1	+		+		+	1
		b		b		b		b r2
1			2		3			4

где bi – коэффициенты сопротивления вязкого трения кинематических связей между соседними элементами.

2.8. Уравнение движения электропривода

После рассмотрения динамических моделей жестких и упругих машин, отражающих свойства механической части электропривода, перейдем к нахождению их уравнений движения. Для этого используется уравнение Лагранжа второго рода [9], которое при переменном приведенном моменте инерции и вращательном движении имеет вид:

J	(j )	dwi	+ wi2	×	dJi	= ∑ M	вн i	- ∑ M	сопр i	,	(2.6)
i	i	dt 2			dji

29

где ∑Мвн i – сумма моментов внешних сил, включающих в себя движущие моменты и моменты сопротивления, действующие на i-ый элемент системы со стороны, ∑Мсопр i – сумма моментов упругости и диссипативных сил (трения), являющихся моментами внутренних сил.

Аналогично для поступательного движения уравнение Лагранжа второго рода запишется в виде:

mi (li ) dvi + vi2 × dmi = ∑ Fвн i - ∑ Fсопр i , dt 2 dli

где li – линейное перемещение i-го элемента механической системы. Рассмотрим уравнения движения (2.6) для трехмассовой электромеха-

нической системы рис. 2.8, в при постоянных моментах инерции всех элементов:

			dw				= M д - M д1;
	Jд			д
				dt
				dw1
	J1						= M д1 - M1ро;		(2.7)
				dt
		dw
	Jро			ро			= M1ро - M ро,
				dt

где взаимодействие упругих звеньев учитывается в виде моментов

M д1 = M у д1 + M дс д1 = сд1(ϕд − ϕ1) + bд1(ωд − ω1) и M1 ро = с1роΔϕ1ро + b1роΔω1ро .

	ωд	Mс		ωд			Mдро	Mдро		Mс ωро
		Jпр					J	сϕ		J
Mд			Mд				д	b		пр
	ϕд			ϕд						ϕро
		а						б
										ωро
	ωд					M1ро ω1 M1ро
		Mд1	Mд1							Mро
		J	сд1		J		с1ро		Jро
							b1ро
Mд		д	bд1		1
	ϕд									ϕро
							ϕ
					в		1

Рис. 2.8

30

В первом уравнении системы (2.7) внешним будет движущий момент Мд, для инерционной массы J1 внешний момент – Мд1, действующий в виде

реакции со стороны первой, для массы Jро – М1ро и собственно момент со-

противления РО Мро. Из системы (2.7) легко получить выражение для двухмассовой механической системы (рис. 2.8, б), положив ϕ1 = ϕро. Тогда

d ω

д

J д

= M д − M дро ;

dt

(2.8)

d ωро

J ′

= M

− M

,

дро

с

пр

dt

где

′

+ Jро .

Jпр = J1

Составим уравнение Лагранжа для двухмассовой системы, динамическая модель которой представлена на рис. 2.7. Приведенная к валу двигателя жесткость сϕ и коэффициент сопротивления b рассчитываются по формулам (2.4) и (2.5). Тогда моменты упругости и диссипативных сил, приведенные к оси вала двигателя, запишутся как:

		l				v
M у дб = спр	ϕд − j			и M дс дб = b	ωд − j		,
		rб				rб

где ϕд и ωд – угол поворота и частота вращения двигателя; l и v –										линейные
перемещение и скорость груза; rб – радиус барабана.
На основании выражения (2.3) выполним приведение момента упругих
деформаций к оси барабана			′			= jM дб		и получим уравнения движения для
			M дб
двухмассовой системы, аналогичные (2.8):
			d ω	д
		J д				= M д − M дб ;
			dt
										(2.9)
			d ωб
		J ′				= M	дб	− M ′	,
		б	dt					с
′	2	2	2
		/ ωб = Jб + mrб –				приведенный к валу барабана суммарный
где Jб = Jб + mv
							′		– приведенный к валу барабана
момент инерции барабана и груза, M с = Fcrб

статический момент, обусловленный тяжестью поднимаемого груза массой m. Если в выражении (2.9) выполнить приведение всех сил (моментов) и скоростей к валу двигателя, поделив второе уравнение на j, получим уравне-

ния,	полностью соответствующие (2.8) при			′	/ j ,	ωро = jωб и
				M с = M с
′	′	2
Jпр = Jб / j			.