Основная теорема арифметики.
Обозначим
(a,b) идеал,
порождённый элементами a
и b. Он может быть
охарактеризован по-разному: как сумма
идеалов (а)+(b), т.е aА
+ bА или как минимальный
(пересечение всех идеалов, содержащих
a и b) идеал,
содержащий a и b.
Пусть А – ОЦ+КГИ.
Упражнение
80*.
(а,b)=(с)
Þ c=НОД(a,b).
Упражнение
81**.
Всякий
элемент aÎA
обладает разложением на неприводимые
элементы.
(hint:
let S be a set of all ideals (a)¹0
such, that a are not factorable. If S¹Æ,
then there is some (a0)ÎS.
Chain (a0)Ì(a1)Ì...
stabilizes at some (an)
(cf. #27). an
can not be prime: if it were so, it would have been factorable! Þ
an
=bc).
Упражнение
82*.
(р
неприводим)Ù(рçab)Þ(pça)Ú(pçb)
(hint:
look up ##17-19 from 1. Introduction into group theory)
Упражнение
83*.
А
– ОЦ+КГИÞ
A
факториально.
(hint:
the only thing what is still need to be proved, is the uniqueness of
factorization. The possibility is guaranteed by #41. Assume we have
two representations of element a as productions of primes:
a=p1p2...pr=q1q2...qs.
Use ##6, 42, option to renumber factors & MMI)
1
Именно с изучения групп подстановок
началась 180 лет тому назад теория групп.
2
В честь великого норвежского математика
Нильса Хенрика. Абеля, прожившего всего
27 лет и успевшего внести значительный
вклад в различные области математики,
прежде всего в теорию коммутативных
групп.
13
