15

School for GAT students “Intellectual” Я.И.

Introduction to the Point-Set Topology.

1. Оператор замыкания. Def. Множество Т снабжённое оператором замыкания Cl (abbreviation of Closure), определённом на множестве всех подмножеств множества Т называется топологическим пространством, если этот оператор удовлетворяет следующим условиям: 1. Cl(XY}= Cl(X)Cl(Y) X,YT (аддитивность) 2. Cl(X)X XT (монотонность) 3. Cl(Cl(X))=Cl(X) («проективность») 4. Cl()=. 5. Cl({а})={а} для любого одноэлементного (точечного) множества {а}. Замечания. На самом деле, только первые четыре свойства этого оператора являются обязательными для самого общего определения топологического пространства. Добавление пятого свойства выделяет более узкий класс топологических пространств – так называемых Т₁-пространств. Для наших с вами целей, разумеется, и этот класс является ещё слишком широким. С другой стороны эти пять условий не являются независимыми. Например, условие 2 следует из условий 1 и 5, а условие 4 также следует из них, если только исходное Т₁-пространство содержит хотя бы две точки. Упражнение 1. Докажите оба эти утверждения. Далее, нам постоянно придётся одновременно с оператором замыкания иметь дело и с оператором взятия теоретико-множественного дополнения, которое мы ранее обозначали чертой сверху над множеством. Проблема в том, что в английском языке «дополняющий» тоже начинается с буквы «с» - complementary. Поэтому общепринято также для оператора замыкания, помимо обозначения Cl использовать то, что мы ранее использовали для обозначения дополнения, а именно, черту сверху, а для дополнения будем теперь использовать символ с. В тех случаях, когда мы используем композиции из этих операций, мы записываем их сверху и справа от множества последовательно. Например, Х^с-с означает, что мы замыкаем дополнение к Х, а затем переходим к дополнению того, что получили; Х^-с- говорит о том, что мы имеем дело с замыканием дополнения к замыканию Х. В обозначениях с чертой вышеперечисленные пять условий выглядят так:

Упражнение 2. Выведите из одного только первого свойства следующие утверждения: 2.1. 2.2. (hint: take advantage of the formula (XY)(Y=XY)); rely on 2.1 dealing with 2.2) Упражнение 3. Для любого множества М индексов  (счётного или несчётного) докажите формулы: ; . Упражнение 4. Докажите следующие утверждения: Cl(T)=T; (X – конечное множество)Cl(X)=X.

Упражнение 5. Докажите, что . (hint: start with identity XY=(X\Y)Y; intersect then both sides of equation with Y^-c) Def. Неподвижные точки (подмножества топологического пространства Т) оператора замыкания называются замкнутыми подмножествами. Иными словами, подмножество Х замкнуто  Cl(X)=X. Множество ХТ называется открытым, если его дополнение замкнуто.

Упражнение 6. а) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто; б) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто; в) Объединение любого семейства открытых множеств открыто; г) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Замечание.

Чаще в литературе именно понятие открытого множества используется как первоначальное при определении топологических пространств. Точнее, топологическим пространством называется множество вместе с выделенной в нём системой подмножеств (называемых открытыми), обладающей тем свойством, что пересечение любого конечного числа таких множеств, а также и объединение любого семейства этих множеств снова принадлежат этой системе (т.е., являются открытыми). То есть, доказанные вами последние два свойства кладутся в основу определения топологического пространства. Поскольку допускаются и пустые семейства подмножеств, то пустое множество и само пространство Т являются открытыми. А замкнутыми, по определению, называются множества, дополнительные к открытым. Определение топологических пространств с помощью оператора замыкания принадлежит польскому топологу Казимиру Куратовскому.

Упражнение 7. G открыто  Х GCl(X)Cl(GX) и, соответственно, Cl(GCl(X))=CL(GX).

Выражение (Т,Е) образуют топологическую пару, означает, что Е просто является подмножеством топологического пространства (ТП) Т. Говорят, что (Т,Е,Х) образуют топологическую тройку, если ТЕХ. И так далее – множества образуют этакую «матрёшку». Рассмотрим такую тройку, в которой Т и Е фиксированы, а Х – переменная величина. Естественно назвать замыканием Х в Е (относительным замыканием) пересечение замыкания Х в Т с Е: Cl_EX=CL(X)E. Если полученный оператор Cl_E окажется оператором замыкания в Е, то Е, тем самым, превратится в топологическое подпространство пространства Т. Упражнение 8. Проверьте, что это, действительно, именно так.

Упражнение 9. Пусть (Т, Е, G, X) – топологическая четвёрка. Совпадают ли топология, наследуемая G из Е (как подмножества ТП Е) с топологией, наследуемой прямо из Т (как подмножества Т)? Иными словами, является ли подпространство топологического подпространства Т само топологическим подпространством (ТПП) Т? По-другому это же можно сформулировать ещё и так: обладает ли свойство «быть подпространством» транзитивностью, подобно тому как этим обладает свойство «быть подмножеством», например.

Следующее упражнение без ущерба для понимания дальнейшего материала может быть пропущено. Упражнение 10*. (Задача Куратовского) Пусть(Т,Е) образуют топологическую пару. Сколько (самое большее) различных множеств можно получить, (считая Т и Е) применяя попеременно операторы замыкания и дополнения?

Def. Границей множества Х называется множество Fr(X)=Cl(X)CL(X^c). Внутренностью множества Х называется множество Int(X)=X^c-c.

Упражнение 11. Докажите следующие формулы:

11.1. Int(XY)=Int(X)Int(Y); 11.6. Fr(X)=(XX^c-)( \X); 11.2. (XY)Int(X)Int(Y); 11.7. =XFr(X); 11.3. Fr(X^c)=Fr(X); 11.8. Int(Int(X))=Int(X); 11.4. Int(X)=X\X^c-=X\Fr(X); 11.9. Int(X)Fr(X)=;

11.5. Fr ( )Fr(X); 11.10. Fr(Int(X))Fr(X).

Def. Базой ТП Т называется такое семейство открытых множеств Г, что всякое открытое множество в Т представимо в виде объединения множеств из Г. Семейство открытых множеств S называется подбазой или предбазой ТП Т, если пересечения всевозможных конечных наборов множеств из S составляет базу ТП Т. Если в ТП Т существует база, состоящая из счётного числа множеств, то тогда оно называется пространством со счётной базой.