2.12 Равновесие Газов

Основные уравнения и поверхность уровня

Как отмечалось выше, газы относятся к сжимаемым жидко­стям, и уравнения равновесия и движения газов отличаются от "таковых для жидкости лишь тем, что они должны учитывать сжимаемость газов. Поэтому полученные ранее дифференциальные уравнения равновесия являются общими для жидкости и газов.

Итак, для газов справедливы:

дифференциальное уравнение равновесия

характеристическое уравнение

И уравнение поверхности уровня

Рассмотрим равновесие газов в условиях земного тяготения и решим основную задачу — распределение гидростатического давления, т. е. определим функцию p=f(x,у,z).

Поверхность уровня. Расположим координатную систему так, чтобы оси Ох и Оу были горизонтальны, а ось Oz была на­правлена вверх. Тогда проекции ускорения объемной силы (си­лы земного тяготения) соответственно равны: Х = 0, Y=0 и Z = – g (рис.1)

Подставляя эти значения в уравнение поверхности уровня, получим (также, как и для жидкости)

(II. 1)

и, интегрируя это уравнение, найдем – gz = const или z= C, т. е. уравнение семейства горизонтальных плоскостей (напри­мер, А на рис. II.1). Следовательно, в пределах любой горизон­тальной плоскости, проведенной через область, занятую покоя­щимся газом, давление остается неизменным. Например, в некоторой замкнутой камере (рис. II.2) давления в точках А и В плоскости п—п равны между собой (Р_А = Р_В). Но эти давления

могут отличаться от давления наружного воздуха Р_С в точке С.

Итак, при равновесии газа гидростатическое давление в точ­ке изменяется только с высотой расположения этой точки Р=f(z).

Эту зависимость находим путем совместного решения основ­ного дифференциального уравнения гидростатики и характери­стического уравнения. Как известно из введения, последнее оп­ределяет собой связь между плотностью, давлением и температурой, которая устанавливается законами термодинамики.

На­помним еще раз эти законы, Уравнение состояния газа записывается в виде:

Здесь

R– удельная газовая постоянная [для воздуха R = 287,14 Дж/(кг·К)];

R’ = R/g (для воздуха R’ = 29,27м/К);

p – гидростатическое давление в точке, Па;

Т – температура, К ;

– удельный вес, Н/м

Изотермический процесс— процесс изменения давления и объема газа при поддержании одной и той же его темпера­туры.

В уравнении состояния

где:

– удельный объем, т.е. объем массы газа которой равен 1 Н; [v] = [м³/Н] и температура T = const.

Тогда уравнение состояния определяется законом Бойля–Мариотта

Вэтом случае масса газа при изменении объема или отдает тепловую энергию (при сжатии), или получает ее извне (при расширении).

Таким образом, изотермический процесс сопровождается теплообменом.

Адиабатический процесс представляет собой случай измене­ния давления в условиях отсутствия теплообмена. Уравнение адиабаты имеет вид:

где:

k– показатель адиабаты (для воздуха обычно принимают ).

Адиабатический процесс является частным случаем более общего политропического процесса, уравнение которого записы­вается в виде:

Распределение давления и температуры

В связи с указанными особенностями характеристического уравнения рассмотрим закон распределения давления в следу­ющих трех предположениях:

а) плотность постоянна независимо от теплового режима;

б) плотность изменяется, под­чиняясь изотермическому закону (Т=const), при этом

в) плотность изменяется по политропному закону, при этом:

Распределение давления при «а)» . В этом случае рас­пределение давления в покоящейся газовой среде аналогично таковому для жидкости. Действительно, так как в по­ле земного тяготения и принятом нами расположении коорди­натных осей проекции ускорения объемной силы (силы земного тяготения) соответственно равны , , , то ос­новное дифференциальное уравнение гидростатики имеет вид:

или

Интегрируя с учетом , получим:

Из этого уравнения видно, что давление убывает с увеличением высоты расположения данной точки.

Распределение давления при «б)» изотермическом процессе (t=const)

В этом случае основное дифференциальное уравнение получит вид

или после разделения переменных

Интегрируя это уравнение, находим

(II.3)

Обозначая , где h – превышение интересующей нас точки 2 над точкой 1, тоже уравнение запишем в виде:

(II.4)

В этом уравнении для воздуха R=287,14 Дж/(кг*К).

Таким образом, при изотермическом процессе увеличение высоты расположения точки при изменении давления следует логарифмическому закону.

Эта же зависимость может быть представлена и в такой форме:

Полагая давление ,т. е. равным атмосферному на уровне моря, и, следовательно, понимая h как превышение дан­ной точки над уровнем моря, можем написать в общей форме

откуда видно, что изменение давления при изменении высоты следует экспоненциальному закону и при p→0 высота h→∞

Распределение давления при «в)» политропном процессе

В общей форме запишем закон распределения давления при политропном процессе:

При n=k=1.41

Для адиабатического процесса имеем частную формулу с численными коэффициентами:

Распределение температуры «в)» политропном процессе

Запишем закон распределения давления при политропическом процессе:

(II.8a)

По уравнению состояния имеем

Подставляя эти значения в уравнение (II.8a), найдем

что и представляет собой закон распределения температуры.

Обозначая, как правило, буквой h разность , находим

откуда

(II.10)

На формулы (II.10) следует; что изменение температуры по высоте происходит по линейному закону.

Для адиабатического процесса и тогда при :

Отсюда видим, что с увеличением высоты на 100 м темпе­ратура воздуха понижается на 1⁰