- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
Теорема 1.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале. Доказательство. Возьмем x1 < x2 из интервала (a, b). Для функции f(x) на интервале [x1 , x2] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому
f(x2 ) - f(x1 ) = (x2 - x1 )f '(x0 ),
где x0 лежит в интервале (x1 , x2), а следовательно, и в интервале (a, b). По условию f '(x0 ) 0 и x2 > x1, следовательно,
f(x2 ) - f(x1 ) 0,
или
f(x2 ) f(x1 ) при x2 > x1 ,
что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и другая теорема. Теорема 2. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале. Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+"). Доказательство. Если производная f '(x) при переходе через x = x0 меняет знак с "+" на "-", то это означает, что при достаточно малом hпроизводная f '(x) положительна в интервале (x0 - h, x0 ) и отрицательна в интервале (x0 , x0 + h). Следовательно, функция f(x) в интервале (x0 - h, x0 ) возрастает, а в интервале (x0 , x0 + h) убывает, то есть в точке x0 достигает максимума. Аналогично доказывается утверждение данной теоремы относительно минимума функции. Заметим, что если производная f '(x), обращаясь в нуль в точке x0, не меняет знака, то в этой точке функция не имеет экстремума, так как с обеих сторон от точки x0 функция f(x) будет возрастать или убывать.
Теорема 4. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x)обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x) достигает экстремума (минимума, еслиf ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее окрестности. Доказательство. Докажем необходимость условия существования максимума. Пустьf '(x) = 0, f ''(x) > 0. Так как f ''(x) непрерывна, то в достаточно малом интервале (x0 - h, x0 + h) вторая производная положительна: f ''(x) > 0. Это означает, что f '(x) возрастает в этом интервале. Так как при этом f '(x0 )=0, то f '(x)<0 в интервале (x0 - h, x0 ) и f '(x)>0 в интервале (x0 , x0 + h). Таким образом, функция f(x) убывает в интервале (x0 - h, x0 ) и возрастает в интервале (x0 , x0 + h). Поэтому в точке x0 функция f(x) имеет минимум. Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума. На рисунке функция f(x) имеет в точке x1минимум, в точке x2 - максимум. Второй производной можно воспользоваться при решении задач на отыскание максимума и минимума функции.
Схема полного исследования функции содержит
следующие этапы:
1. Нахождение области определения функции.
2. Нахождение асимптот графика функции (вертикальных и
наклонных).
3. Нахождение точек экстремума функции, интервалов
монотонности с использованием первой производной.
4. Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости и
вогнутости с применением второй производной функции.
5. Анализ простейших свойств функции для получения
дополнительной информации (четности, (нечетности) функции,
ее периодичности, определение точек пересечения с осями
координат и некоторых дополнительных точек графика
функции (при необходимости)).
Рассмотрим сначала отдельные элементы исследования
функции, а затем и полное исследование с построением эскиза
графика функции