- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
Критерий Коши сходимости последовательности.
Теорема 4.4.1 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. Необходимость (метод ). Пусть при . Тогда для любого существует номер такой, что для любых выполняются неравенства . Рассмотрим цепочку соотношений
что означает, что фундаментальна.
Достаточность. Докажем сначала ограниченность последовательности . Возьмем , тогда, в силу фундаментальности , найдется номер такой, что для всех выполняется . Следовательно, , поэтому . Итак, для всех при фиксированном выполняется , что означает ограниченность последовательности (см. замечание 3.2.1). По теореме 4.3.2 из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу .
Докажем, что и вся последовательность сходится к числу . Возьмем любое , тогда найдется номер (из фундаментальности ) такой, что для всех выполняется . Ввиду сходимости при , по взятому найдется номер такой, что и . Тогда для нашего
что означает сходимость последовательности к числу .
*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
Если непустое множество действительных чисел ограничено сверху, то существует точная верхняя граница этого множества.
Доказательство (метод Больцано -- метод деления отрезка пополам). Пусть и множество ограничено сверху числом . Рассмотрим отрезок , заметим, что правее нет точек из . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим самый правый из них, содержащий хотя бы одну точку из , т. е. правее нет точек из . Так же поступим с отрезком , получим отрезок , содержащий хотя бы одну точку из , правее которого нет точек из . Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков , длины которых . При этом при любом правее нет точек из . На основании принципа вложенных отрезков (теорема 4.1.1) существует единственная точка , лежащая во всех отрезках системы .
Докажем, что . В самом деле, по построению для всех и для всех выполняется неравенство . Тогда, переходя к пределу в этом неравенстве при , получим (используя то, что ) неравенство . Возьмем теперь любое . Тогда (так как и ) существует номер такой, что лежит левее отрезка . При этом в лежит хотя бы одна точка , т.е. выполняется неравенство . Следовательно, .
Будем считать в дальнейшем, что если множество неограничено сверху, то , если неограничено снизу, то .
*Принцип Бореля-Лебега
Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега).
В любой системе интервалов, покрывающих отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.
Доказательство: Рассмотрим отрезок = [a,b]. S = {U}- система интервалов U, его покрывающая. Допустим нельзя выделить конечную подсистему, покрывающую данный отрезок. Поделим пополам. Одна из его половин не допускает конечного подпокрытия. Обозначим его . Проделаем то же с отрезком , получим и так далее. Получаем последовательность вложенных отрезков .
по лемме о вложенных отрезках получаем: Так как , то в S интервал , такой что . Обозначим . . - противоречие :
С одной стороны - не допускает конечного покрытия, а с другой стороны указан конечный интервал ∈ , который покрывает отрезок .