- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
Теорема 1. Если переменная величина принимает только неотрицательные значения (y=f(x)0), то ее предел (если он существует) не может быть числом отрицательным.
Теорема 2. Если переменная величина принимает только неположительные значения (y=f(x)0), то ее предел (если он существует) не может быть числом положительным.
Теорема 3. Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента, она принимает значения только того знака, каков знак ее предела.
Теорема Ферма. (Ферма, 1601-1665 – французский математик).
Пусть функция f(x), определенная в интервале (a, b), принимает в некоторой точке x=c этого интервала наибольшее или наименьшее значение.
В таком случае, если в точке x=c существует производная этой функции, то она равна нулю.
Доказательство. Пусть f(с)=M, где М – наибольшее значение функции в интервале (a, b). Покажем, что f/(c)=0. По определению производной: f/(c)= .
Так как в точке x=c функция принимает наибольшее значение, то при любом знаке x имеем: f(c)f(c+x) и f(c+x)-f(c)0
Отсюда, если x>0, то и по теореме 2 имеем: f/(c)= .
Если же x<0, то и f/(c)= .
Сравнивая полученные для f/(c) неравенства видим, что оба они удовлетворяются только тогда, когда f/(c)=0, что и требовалось доказать. Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции y=f(x) в точке экстремума, в которой функция дифференцируема, параллельна оси Ox (так как y/=tg=0), =0.
Теорема Ролля (Ролль, 1652-1719 – французский математик).
Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмента обращается в нуль, то есть f(a)=f(b)=0, то ее производнаяf/(x) обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке x=c этого сегмента.
Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своего наибольшего М и наименьшего значения m (смотри свойства функций, непрерывных на сегменте).
Если M=m, то функция постоянна на сегменте [a, b] и, следовательно, f/(x)=0 в любой точке этого сегмента.
Пусть Mm, тогда одно из этих чисел, например, M0. Поэтому, если наибольшее значение М достигается в точке c: f(c)=M, то точка с должна быть внутренней точкой сегмента [a,b], то есть должна принадлежать интервалу (a, b) (так как на концах сегмента f(a)=f(b)=0).
Следовательно, по теореме Ферма f/(c)=0.
Замечание. Теорема Ролля верна и в том случае, если f(a)=f(b)0.
Геометрический смысл. Если график непрерывной на сегменте [a, b] и дифференцируемой внутри него функции пересекает ось Ox в двух точках x=a и x=b, то между этими точками найдется хотя бы одна точка с, a<c<b, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.
Замечание. Нарушение хотя бы одного из условий теоремы Ролля может привести к тому, что для соответствующей функции заключение теоремы не будет справедливо.
(здесь нарушена непрерывность внутри отрезка [a, b]).