- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Свойство 3.4.1. Если последовательности и сходятся, то сходится последовательность
и
Свойство 3.4.2. Если последовательности и сходятся, то сходится последовательность и
Доказательство. Пусть . Тогда и при . Поэтому
В силу свойств 3.3.1-3.3.3 бесконечно малых последовательностей
Свойство 3.4.3. Если последовательности и сходятся к и соответственно, то последовательность сходится к
Доказательство. Так как (пусть для определенности ), то по свойству 3.2.3, начиная с некоторого номера . Поэтому определена последовательность и Рассмотрим для номеров цепочку равенств
Так как последовательность -- бесконечно малая, а последовательность ограничена, то -- бесконечно малая последовательность, следовательно, по свойству 3.3.3, последовательность стремится к .
Теорема Кантора о вложенных отрезках
Теорема (Г.Кантора). Пусть задана система вложенных отрезков на , т. е. таких, что
и длины отрезков при . Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам .
Доказательство. Возьмем любое . Ясно, что для любого (из вложенности системы отрезков, см. рис. 4.1.1)
Рис. 4.1.1
Рассмотрим последовательность левых концов отрезков системы . Она монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом . Тогда, по основной теореме 2.4.1, существует число (точка) такое, что и для любого . В частности, при , что означает, что . Так как было взято произвольным, то точка принадлежит всем отрезкам .
Найденная точка единственная, так как, если существует и для любого , то для любого выполняются неравенства , что противоречит тому, что при .
Замечание 4.1.1. , т.е. последовательность левых концов отрезков , возрастая, стремится к точке , а последовательность правых концов отрезков , убывая, стремится к . Действительно,
Замечание 4.1.2. Во множестве рациональных чисел такого свойства, вообще говоря, нет. Например, пусть , а . Ясно, что эта последовательность отрезков удовлетворяет условиям теоремы Кантора, но общая единственная точка -- иррациональное число, следовательно, во множестве рациональных чисел общих точек у рассматриваемой системы отрезков нет, т. е.
Замечание 4.1.3. То, что в теореме Кантора речь идет о системе отрезков (а, например, не интервалов), существенно. Достаточно рассмотреть систему интервалов Ясно, что в
Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
Теорема 4.3.2 (Больцано - Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому действительному числу.
Доказательство (метод Больцано). Так как последовательность ограничена, то существует число такое, что . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из , пусть . Далее разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из . Тогда найдется элемент и . Процесс деления отрезка пополам, выбора одной из половин отрезка и элемента в ней продолжим по индукции. Итак, построена система вложенных отрезков и последовательность такая, что для любого выполняется и . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам, и . Переходя к пределу по в неравенствах , получим .