- •Единственность предела сходящейся последовательности
- •Ограниченность сходящейся последовательности
- •Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Теорема Кантора о вложенных отрезках
- •Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.
- •Критерий Коши сходимости последовательности.
- •*Теорема о существовании точных границ числовых множеств.
- •*Принцип Бореля-Лебега
- •*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
- •Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
- •*Критерий Коши предела функции в точке
- •Непрерывность сложной функции
- •Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке
- •Теорема Больцано-Коши о нулях функции
- •*Теорема о существовании обратной функции
- •*Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •Непрерывность дифференцируемой функции
- •Доказательство
- •Производная и дифференцируемость функции в точке
- •Дифференцируемость функции в точке: правила дифференцирования, дифференцируемость сложной функции
- •Правила дифференцирования
- •25. Теоремы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Теоремы Ферма и Ролля.
- •Теоремы Коши и Лагранжа.
- •26. Правила Лопиталя
- •27. *Теорема Тейлора
- •28. Достаточные условия экстремума
- •29. Точки возрастания функции и второе достаточное условия экстремума функции в точке
*Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного числового множества
Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.
Доказательство. Пусть X - бесконечное ограниченное множество чисел из R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a, b]. Обозначим отрезок [a, b] через σ0 и покажем, что существует, по крайней мере, одна точка x0 ∈ [a, b], которая является предельной для X. Разделим отрезок σ0 на два равных отрезка и обозначим через σ1 = [a1, b1] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X (по крайней мере, один из них обязательно содержит такое бесконечное подмножество). Теперь σ1 разделим на два равных отрезка и обозначим через σ2 = [a2, b2] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X.
Рассуждая по индукции, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σn = [an, bn] (n = 0, 1, 2, . . . ), длины которых (b – a)/2n стремятся к нулю.
Согласно принципу Кантора о вложенных отрезках существует точка x0, принадлежащая всем σn. Очевидно, что x0 есть предельная точка множества X.
Эквивалентность 2х определений предела функции в точке
Определение предела функции по Гейне. Пусть в каждой точке интервала , кроме, быть может, точки , определена функция
Число называется пределом функции при стремлении к , если для любой последовательности такой, что
последовательность значений функции сходится к при . В этом случае пишут
Определение предела функции по Коши. Пусть в каждой точке интервала , кроме, быть может, точки , определена функция (см. рис. 5.2.2). Число называется пределом функции при стремлении к , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Или, на формальном языке,
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны
Доказательство. Необходимость. Докажем от противного. Пусть по Гейне, но не по Коши, т. е.
Пусть . Тогда по (5.2.2) найдутся и . Отсюда , и по билет 5 . Поэтому, по определению Гейне, , но по построению последовательность лежит вне окрестности , что противоречит тому, что .
Достаточность. Пусть
(по Коши).
Согласно определению Гейне, возьмем любую последовательность . Для доказательства того, что , возьмем любое . Тогда из определения предела по Коши найдется соответствующее . Для , в силу сходимости , найдется номер такой, что для всех , но тогда по определению Коши , что доказывает, что , т. е. (по Гейне).
*Критерий Коши предела функции в точке
Говорят, что функция удовлетворяет условию Коши в точке , если она определена в , быть может, кроме самой точки , и выполнено
Теорема 5.3.1. Для того чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно, чтобы в точке выполнялось условие Коши для функции
Доказательство. Необходимость. легко следует из определения предела по Коши .Действительно, возьмем любое , тогда для найдется . Возьмем любые , тогда
Достаточность. Пусть выполняется условие . Докажем, что существует
(по Гейне).
Пусть дана любая последовательность Возьмем любое , по нему найдем , тогда существует номер такой, что для всех , а следовательно, выполняется неравенство . Отсюда фундаментальна, значит, последовательность сходится к некоторому числу . Остается доказать, что и для другой последовательности . Действительно, по изложенному выше существует при . Рассмотрев третью последовательность
будем иметь . Следовательно,