- •1. Несинусоидальные токи и напряжения. Разложение периодических функций в ряд Фурье
- •2.Расчёт электрических цепей при несинусоидальных источниках эдс и тока
- •3.Действующее значение токов и напряжений в цепях синусоидального ток
- •4.Мощность в цепях несинусоидального тока
- •5.Классический метод расчёта переходных процессов: законы коммутации, зависимые и независимые начальные условия, переходные процессы в цепях rl, rc, rlc
- •6.Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •7.Операторный метод расчёта переходных процессов: преобразование Лапласа, операторные схемы замещения, теорема разложения и её применение при расчётах
- •8.Расчёт переходных процессов в эц с помощью интеграла Дюамеля: переходные функции, порядок расчёта
- •9.Электрические цепи с распределёнными параметрами: уравнение однородной линии, решение уравнений при установившемся синусоидальном процессе.
- •Линия с распределёнными параметрами без потерь: режим хх, кз, режим с согласованной нагрузкой, режим с чисто реактивной нагрузкой, со смешанной нагрузкой. Четвертьволновой трансформатор.
- •12. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
- •13.Фильтры нижних частот типа «м»
- •14.Преобразующие четырехполюсники: Конвенторы и инвенторы сопротивлений
- •15. Элементы и эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей
- •16.Графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока
- •17. Расчёт нелинейной цепи методом двух узлов.
- •19. Расчёт нелинейной цепи методом эквивалентного генератора.
- •24. Расчет однополупериодного выпрямителя
- •25.Феррорезонанс напряжений и токов
- •26.Стабилизаторы напряжения
- •Параллельный параметрический стабилизатор на стабилитроне
- •Стабилизаторы переменного напряжения
- •29. Активные цепи: Операционный усилитель, Усилитель напряжения.
- •Отличия реальных оу от идеального
- •30. Частотный метод анализа электрических цепей
4.Мощность в цепях несинусоидального тока
Так же как и в цепях синусоидального тока будем вести речь о мощностях, потребляемых пассивным двухполюсником. Под активной мощностью тоже понимают среднее за период значение мгновенной мощности
Пусть рядами Фурье
Подставим значения u и i в формулу Р
Интеграл за период от произведения синусоид различных частот равен нулю. Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник. Полной мощности - произведение действующих значений напряжения и тока, т.е. S=UI. Отношение Р к S называется коэффициентом мощности и прирав-нивается косинусу некоторого условного угла θ, т.е. cosθ=P/S. На практике очень часто несинусоидальные напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидами. При этом нужно выполнить два условия: 1) действующее значение эквивалентной синусоиды должно равняться действующему значению заменяемой величины; 2) угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока θ должен быть таким, чтобы UIcosθ равнялось бы активной мощности Р. Следовательно, θ - это угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока. Обычно действующее значение эквивалентных синусоид близко к действующим значениям основных гармоник. Реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей всех гармоник
Для несинусоидального тока в отличие от синусоидального S2≠P2+Q2. Поэтому мощности искажения Т, характеризующей отличие форм кривых напряжения и тока и определяемой так
5.Классический метод расчёта переходных процессов: законы коммутации, зависимые и независимые начальные условия, переходные процессы в цепях rl, rc, rlc
В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время. Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени
, (1.1)
где ik (ul) - мгновенный ток (напряжение) в катушке Lk (на конденсаторе Cl ); k и l - индексы суммирования.
В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического смысла.
На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.
1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0
iL(0+) = iL(0-) = iL(0) ,(1.2)
где t = 0- - момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; t = 0+ - момент времени сразу после мгновенной коммутации.
2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации
uC(0+) = uC(0-) = uC(0) ,(1.3)
Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.
Начальные условия
Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации. Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.
Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:
Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:
,(1.4)
где i(t) - искомая переменная; f(t) - правая часть, обусловленная возмущающими силами, т.е. функциями источников.
Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:
i(t) = iсв(t) + iвын(t) . (1.5)
Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:
(1.6)
Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k -той производной на pk . При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение
pn + bn-1pn-1 + ........... +b1p + b0 = 0(1.7)
является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:
, (1.8)
где Ak - постоянные интегрирования.
Решение (1.8) записано для случая различных корней pk . Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.
Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т.е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.
Вторая составляющая iвын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) - константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.
Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации
iвын(t) = iуст(t) (1.9)
Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.
В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.
1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.
2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.
3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.
4. Определить решение полученного дифференциального уравнения
(1.10)
где iвын(t)=iуст(t) -вынужденная (установившаяся) составляющая; pk - корни характеристического уравнения; Ak - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.