- •1. Несинусоидальные токи и напряжения. Разложение периодических функций в ряд Фурье
- •2.Расчёт электрических цепей при несинусоидальных источниках эдс и тока
- •3.Действующее значение токов и напряжений в цепях синусоидального ток
- •4.Мощность в цепях несинусоидального тока
- •5.Классический метод расчёта переходных процессов: законы коммутации, зависимые и независимые начальные условия, переходные процессы в цепях rl, rc, rlc
- •6.Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •7.Операторный метод расчёта переходных процессов: преобразование Лапласа, операторные схемы замещения, теорема разложения и её применение при расчётах
- •8.Расчёт переходных процессов в эц с помощью интеграла Дюамеля: переходные функции, порядок расчёта
- •9.Электрические цепи с распределёнными параметрами: уравнение однородной линии, решение уравнений при установившемся синусоидальном процессе.
- •Линия с распределёнными параметрами без потерь: режим хх, кз, режим с согласованной нагрузкой, режим с чисто реактивной нагрузкой, со смешанной нагрузкой. Четвертьволновой трансформатор.
- •12. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
- •13.Фильтры нижних частот типа «м»
- •14.Преобразующие четырехполюсники: Конвенторы и инвенторы сопротивлений
- •15. Элементы и эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей
- •16.Графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока
- •17. Расчёт нелинейной цепи методом двух узлов.
- •19. Расчёт нелинейной цепи методом эквивалентного генератора.
- •24. Расчет однополупериодного выпрямителя
- •25.Феррорезонанс напряжений и токов
- •26.Стабилизаторы напряжения
- •Параллельный параметрический стабилизатор на стабилитроне
- •Стабилизаторы переменного напряжения
- •29. Активные цепи: Операционный усилитель, Усилитель напряжения.
- •Отличия реальных оу от идеального
- •30. Частотный метод анализа электрических цепей
Линия с распределёнными параметрами без потерь: режим хх, кз, режим с согласованной нагрузкой, режим с чисто реактивной нагрузкой, со смешанной нагрузкой. Четвертьволновой трансформатор.
Для линии без потерь при a = 0, g = jb соотношения для тока и напряжения вдоль линии можно представить в виде:
Выразим и через токи и напряжения в конце линии и . Для этого заменим в последних соотношениях величины с индексом “1” на величины с индексом “2” и изменим отсчет расстояний от начала x на (– x'); координату x' отсчитывают от конца линии (x' = l – x). Такая замена приводит соотношения к виду:
При x' = l отсюда получим значения напряжения и тока в начале линии. Входное сопротивление линии без потерь, следовательно, можно выразить как
или с учетом соотношения выходных величин
Рассмотрим режимы работы линии, отличающиеся характером сопротивления нагрузки.
1. Режим согласованной нагрузки (Zн = Z, ). Подставляя эти выражения в соотношения для напряжения и тока, получим:
Отсюда следует, что при согласованной нагрузке напряжение и ток в линии без потерь имеют постоянную амплитуду по всей длине. Входное сопротивление Zвх такой линии равно ее волновому сопротивлению Z, и не зависит от длины линии.
2. Режим холостого хода ( ). Для комплексных напряжений и тока имеем:
В рассматриваемом режиме напряжение и ток во всех точках линии имеют одинаковую фазу. Действительно, для мгновенного значения напряжения при холостом ходе получим . Согласно этому соотношению, напряжение во всей линии изменяется синфазно. Эти колебания представляют собой так называемые стоячие волны. На рис. 25.4 изображено распределение действующих токов и напряжений для случая, когда bl = 2p, т. е. длина линии l равна длине волны l.
Рис. 25.4
Поскольку в отдельных точках линии, как следует из рисунка, напряжение сохраняет нулевое значение, то по линии в целом отсутствует передача мощности.
Входное сопротивление разомкнутой на конце линии Zвх = – jZ ctg bl имеет место чисто реактивный характер (волновое сопротивление Z линии без потерь — вещественная величина). В зависимости от длины линии входное сопротивление может иметь как емкостный (например, при 0 < bl < p/2), так и индуктивный характер (p/2 < bl < p). Если длина разомкнутой на конце линии l равна четверти длины волны (bl = p/2), то ее входное сопротивление равно нулю.
3. Режим короткого замыкания ( ). Распределение комплексных напряжения и тока выражается формулами:
И в этом случае в линии наблюдаются стоячие волны, однако теперь узел напряжения расположен в конце линии (рис. 25.5), а распределение тока в этой точке имеет пучность.
Рис. 25.5
Как и при холостом ходе, передача энергии по линии в целом в этом режиме отсутствует. Для входного сопротивления из общей формулы получим Zвх =jZ tg bl. Оно также имеет чисто реактивный характер и в зависимости от длины линии может быть индуктивным или емкостным.
Сопоставляя оба рассмотренных режима (х. х. и к. з.), можно заключить, что соотношение между входными сопротивлениями в обоих режимах существенно зависит от волновой длины линии l/l = bl/2p. При l/l <1/8 (bl < p/4) имеем ½Zвх. к.з.½ < ½ Zвх. х.х.½, однако при p/4 < bl < p/2 это неравенство изменяется на обратное; для четвертьволновой линии (bl = p/2) Zвх. х.х. = 0, а Zвх. к.з. = ¥. Этот парадоксальный результат объясняется тем, что при холостом ходе в начале линии имеем узел напряжения, а при коротком замыкании — узел тока.
4. При нагрузке линии на емкость или индуктивность с реактивным сопротивлением Xн выходные величины связаны соотношением U2 = jXн I2. Его подстановка в соотношения для напряжения и тока позволяет записать их в виде:
Поскольку реактивное сопротивление нагрузки Xн вещественно, то отсюда вытекает, что и при нагрузке линии без потерь на емкость или индуктивность фаза напряжения и тока во всех точках линии одинакова. Таким образом, и в этом режиме в линии наблюдаются стоячие волны тока и напряжения.
Для более ясного представления о характере распределения преобразуем полученные выражения, используя представление параметра Z/Xн = tgs. Элементарные тригонометрические преобразования позволяют привести рассматриваемые формулы к виду . Эти выражения показывают, что, как и в рассмотренных выше случаях, распределение действующих токов и напряжений имеет синусоидальный характер (см. рис. 25.4), однако в отличие от режимов холостого хода и короткого замыкания в конце линии нет ни узла, ни пучности. Положение узлов и пучностей легко определяется из последних выражений.
5. Нагрузка линии на активное сопротивление. В этом случае условие на конце линии позволяет привести выражения для напряжения и тока к виду:
Распределение действующих значений определяется модулями этих величин:
;
Эти выражения определяют функции, периодические по координате х' с периодом, равным половине длины волны l/2, не обращающиеся в нуль ни при каких значениях x'. Анализ показывает, что эти функции имеют экстремумы при cos bx' = 0 и sin bx' = 0. Соответственно U = U2 и U = U2/r. В зависимости от соотношения одна из этих величин представляет максимум, а вторая — минимум кривой U(x'). Аналогичный вид имеет и кривая I(x') (рис. 25.6). Такой характер распределения определяется наложением прямой волны и обратной волны, отраженной от несогласованной нагрузки.
Рис. 25.6
Неравномерность распределения напряжения вдоль линии выражена тем сильнее, чем дальше от условия согласования r = 1 находится сопротивление нагрузки. Количественно эта неравномерность характеризуется коэффициентом бегущей волны kб. в = Umin/Umax. При согласованной нагрузке (Rн = Z) отраженная волна отсутствует, и по линии распространяется лишь прямая бегущая волна — имеем kб. в = 1 (см. п. 1). По мере удаления от режима согласованной нагрузки возрастает роль отраженной волны, усиливающей неравномерность распределения напряжения и тока вдоль линии. Как при уменьшении, так и при увеличении сопротивления нагрузки режим приближается либо к короткому замыканию, либо к холостому ходу, в которых наблюдаются стоячие волны, и kб. в = 0 (пп. 2 – 4).
Входное сопротивление нагруженной линии без потерь. В режиме стоячих волн (при холостом ходе, коротком замыкании и реактивной нагрузке) входное сопротивление линии без потерь является чисто мнимым. Это понятно, так как линия в этих режимах не расходует энергии, и ее входное сопротивление будет чисто реактивным. Его индуктивный, либо емкостный характер определяется волновой длиной линии — параметром bl = 2pl/l и характером нагрузки.
При активной нагрузке линии Zн = Rн ее входное сопротивление имеет комплексный характер. Из общей формулы для Zвх следует
Вещественная часть Rвх = > 0 определяет энергию, потребляемую нагруженной линией от источника; мнимая часть в зависимости от соотношения между параметрами bl и r может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
11.Линия с распределёнными параметрами без искажений.
Линия без искажений представляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.
При движении электромагнитной волны по линии без искажений волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но формы волн напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же подобны формы волн тока в начале и конце линии.
Неискажающие линии находят применение в телефонии. При телефонном разговоре по таким линиям не искажается тембр голоса, т. е, не искажается спектральный состав голоса.
Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент затухания (a) и фазовая скорость (uф) не должны зависеть от частоты; a и uф не зависят от частоты, если между параметрами линии существует следующее соотношение:
R0 / L0 = G0 / C0. (5.34)
Для сокращения записи обозначим:
R0 / L0 = G0 / C0.= k.
По определению
g = a +j b = ,
но
Z0 = R0 + jwL0 = L0(k + jw);
Y0 = G0 + jwC0 = C0(k + jw);
g = (k + jw) .
Следовательно,
a = k = ; (5.35)
b = w ;
uф= w / b = 1 / . (5.36)
Из формул (5.35) и (5.36) следует, что коэффициент затухания (a) и фазовая скорость (uф) в линии без искажений действительно не зависят от частоты.
В линии без искажений волновое сопротивление
является действительным числом и также не зависит от частоты.
Чтобы убедиться, что форма волны напряжения в конце линии (u2) полностью подобна форме волны напряжения в начале линии (u1), возьмем напряжение на входе линии в виде суммы двух синусоидальных колебаний, одно из которых имеет частоту w, а другое 2w, и составим выражение для напряжения u2. Пусть напряжение u1 равно:
u1 = U 1т sin (wt + y1) + U 2m sin (2wt+y2).
Так как для линии без искажения коэффициент затухания (а) не зависит от частоты [см. формулу (5.42)], то амплитуды обоих колебаний на расстоянии l уменьшаются в одинаковой степени и становятся равными U1me-al и U2me-al.
Для линии без искажения коэффициент фазы (b) прямо пропорционален частоте, поэтому для частоты 2w коэффициент b в два раза больше, чем для частоты w.
Следовательно, мгновенное значение напряжения в конце линии равно:
u2 = U 1т e-al sin (wt + y1 – bl) + U 2m e-al sin (2wt+y2 -2bl) =
= U1т e-al sin [w(t-bl/w) + y1 ] + U 2m e-al sin [2w(t – 2bl/2w) + y2].
Вынесем e-al за скобку и обозначим время t – bl/w через t. Получим: u2 = e-al (U 1т sin [wt + y1] + U 2m sin [2wt + y2]).
Если сопоставить последнее выражение с выражением для u1, то можно сделать вывод, что напряжение в конце линии имеет ту же форму, что и напряжение в начале линии. Однако оно уменьшено по амплитуде за счет затухания и смещено во времени на bl/w = l/uф – на время движения волны по линии длиной l.