9.Электрические цепи с распределёнными параметрами: уравнение однородной линии, решение уравнений при установившемся синусоидальном процессе.
Цепи с распределенными параметрами - это такие электрические цепи, в которых напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x.
Смысл
данного названия заключается в том, что
у цепей данного класса каждый элемент
их длины характеризуется сопротивлением,
индуктивностью, а между проводами –
соответственно емкостью и проводимостью.
Для оценки, к какому типу отнести цепь:
с сосредоточенными или распределенными
параметрами – следует сравнить ее длину
l с длиной электромагнитной волны
. Если
, то линию следует рассматривать как
цепь с распределенными параметрами.
Например, для
,
т.е. при
, и
. Для
, т.е. уже при
к линии следует подходить как к цепи с
распределенными параметрами.Реально
ситуация еще драматичней, так как
скорость электромагнитных волн для
частот ниже 100 КГц намного ниже скорости
света. К примеру, скорость волн промышленной
частоты 50 Гц составляет величину порядка
7000 км/с, и электрическая линия длиной
35 км, короткозамкнутая на конце,
представляет собой четвертьволновый
шлеф, то есть ее сопротивление на входе
можно считать бесконечным. Согласно
релятивистской гипотезе такое происходит
только на длине 1500 км, что не соотвествует
фактам.
Уравнения однородной линии в стационарном режиме
Под
первичными параметрами линии будем
понимать сопротивление
, индуктивность
, проводимость
и
емкость
, отнесенные к единице ее длины. Для
получения уравнений однородной линии
разобьем ее на отдельные участки
бесконечно малой длины
со структурой, показанной на рис. 1.
Пусть
напряжение и ток в начале такого
элементарного четырехполюсника равны
u и i, а в конце соответственно
и
.
Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа
или после сокращения на
.
Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном режиме
Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени.Воспользуемся комплексно-символическим методом.
Изображение
тока:
где
Изображение
напряжения:
где
.
Комплексы
и
являются функциями расстояния х, но не
являются функциями времени. Множитель
еjwt есть функция времени t, но не зависит
от х.
Представление изображений тока и напряжения в виде произведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой функцией только t, дает возможность перейти от уравнений в частных производных и к уравнениям в простых производных. Действительно,
(5.5)
(5.6)
Подставим уравнения (5.5) и (5.6) в уравнения (5.1) и (5.4), сократив в полученных уравнениях множитель еjwt:
(5.7)
(5.8)
где
Z0 = R0 + jwL0; (5.9)
Y0 = G0 + jwC0; (5.10)
Решим систему уравнений (5.7) и (5.8) относительно . С этой целью продифференцируем уравнение (5.7) по х:
.(5.11)
В
уравнении (5.11) вместо
подставим правую часть уравнения (5.8),
получим:
(5.12)
Уравнение (5.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Его решение:
(5.13)
Комплексные
числа
и
в решении (5.13) есть постоянные
интегрирования, которые в дальнейшем
определим через напряжение и ток в
начале или через напряжение и ток в
конце линии.
Комплексное
число
,
(5.14)
принято называть постоянной распространения. Формулу (5.14) можно представить в виде:
= a + jb, (5.15)
где a – коэффициент затухания, характеризует затухание падающей волны на единицу длины линии, скажем, на 1 м (км); b – коэффициент фазы;
он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии, например на 1 м (км).
Ток
найдем из уравнения (5.7):
.
(5.16)
Отношение
в
решении (5.16), имеющее размерность сопротивления с учетом обозначений (5.9) и (5.10), обозначают Zв и называют волновым сопротивлением:
,
(5.17)
где zb – модуль; jв – аргумент волнового сопротивления Zв.
Следовательно, решение (5.16), с учетом (5.17)
.
.