1.Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
Если по нек-му правилу каждому натур-ому числу поставлена в соответствии вполне опред-ое число an то, говорят, что задана числовая последовательность {an}:а1, а2, а3, … , аn. Др словами, числовая последовательность – это ф-ия натур-ого аргумента. Числа а1, а2, а3 наз-ся членами последовательности. Число аn наз-ся общим числом последовательности. Пример: изобразим члены последней послед-ти точками числовой оси:
Можно заметить, что члены послед. с ростом n как угодно близко приближаются к 1, при этом, абсолютная величина разности | а1 -1| становится все меньше и меньше. На самом деле | а1 -1|=1 (1); | а2 -1|=1/2; | аn -1|=1/n, т.е. с ростом n разность (1)будет меньше любого сколь угодно малого числа.
Число А наз-ся пределом числовой послед-ти аn, если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ существует такой номер N зависящий от ɛ, что для всех членов послед-ти с номером n>N будет выполняться неравенство | аn -A|< ɛ limn→∞ an ↔А
Смысл определения предела числ послед. состоит в том, что для достаточно больших номеров n члены послед {an} как угодно мало отличаются от числа А.
2.Предел функции. Геометрический смысл предела функции.
Пусть ф-я у=f(x) определена в нек-ой окрестности т аR за исключением, быть может, самой т. а. число А наз-ся пределом ф-и у=f(x), если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ сущ-т положит число такое, что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться неравенство |f(х)-А|<ɛ
limx→a f(x)=A
Геометрический смысл: раскроем знак модуля в неравенстве
|
х-а|<
ɛ
-<x-a<
a-<x<+a
x(a-;a+)
аналогично: f(x)(A- ɛ;A+ ɛ)/
геометрически это означает, что к-ую бы окрестность в т.А на оси ОУ мы не взяли, всегда найдется окрестность т.а на оси ОХ, которую ф-я переводит в окрестность оси ОУ.
3. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.
Число А наз-ся пределом ф-и у=f(x), если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ сущ-т положит число такое, что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться неравенство |f(х)-А|<ɛ
1. ф-я у=f(х) имеет предел при х→а=±∞, если для любого числа М>0 найдется >0, такое что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться f(х)>М (f(x)<M (для -∞)).
2. число А наз-ся пределом ф-ии f(х) при х→а слева, или левосторонним пределом, если для любого ɛ>0 существует >0: для любого х, удовлетворяющего неравенству х-а< будет выполняться нер-о |f(x)-A|< ɛ.
3. число А наз-ся пределом ф-ии f(х) при х→а справа, или правосторонним пределом, если для любого ɛ>0 существует >0: для любого х, удовлетворяющего неравенству х-а<.
lim x→a-0f(0) – слева; lim x→a+0f(0) – справа
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства б.М. И б.Б. Функций.
Число А наз-ся пределом ф-и у=f(x), если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ сущ-т положит число такое, что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться неравенство |f(х)-А|<ɛ
1.Ф-ия α(х) наз-ся бесконечно малой при х→а если ее предел =, т.е. lim x→a α(x)=0
α(x) б.м. для любого ɛ>0 сущ-ет >0: для любого х |х-а|< |α(х)|<ɛ
2.ф-я β(х) называется бесконечно большой при х→а, если ее предел = ∞. limх→а β(х)= ∞.
Теор1. «теорема о связи предела и б.м. ф-ии». Если ф-я у=f(х) имеет предел этой ф-ии при х→а равное А, то разность между ф-ей и значением предела есть ф-я б.м. при х→а.
Док-во:
Необходимо показать, что предел lim x→а f(x)=A ˂=>f(x)-A , при x→а, тк limx→a f(x)=A, то по определению: для любого ɛ>0 существует >0: для любого х |х-а|< |f(х)-A|<ɛ
Сравнивая это определение с определением б.м. получим, что f(х)-А б.м. при x→а.
Теор2. алгебраическая сумма конечного числа б.м. ф-ий есть ф-я б.м.
Теор3. произведение б.м. при x→а ф-ии на ограниченную в нек-ой окрестности т. а ф-ию, есть ф-я б.м.
Теор4. произведение конечного числа б.м. ф-ий есть ф-я б.м.
Теор5. «теорема о связи б.б и б.м ф-ий» если α(х) – б.м. при x→а, то 1/α(х) – это есть б.б. и если β(х) – б.б. при х→а , то 1/ β(х) – б.м. при х→а.
5. Основные теоремы о пределах (разделено на несколько билетов).
Число А наз-ся пределом ф-и у=f(x), если для любого сколь угодно малого положительного числа ɛ сущ-т положит число такое, что для всех х удовлетворяющих неравенству |х-а|< будет выполняться неравенство |f(х)-А|<ɛ
Теор1. предел постоянной равен самой постоянной. lim x→ac=c
док-во:
возьмем f(x)=с, lim x→af(x)=c по определению предела:
для любого ɛ>0 существ. >0 такой что для любого х |х-а|< |f(х)-c|<ɛ |c-c|=0<ɛ
Теоре2. если ф-я имеет предел, то он единственный.
Док-во: lim x→a f(x)=A lim x→a f(x)=B
по теореме о связи предела и б.м ф-ии f(x)-A=α(x) и f(x)-B= β(х), где α(x) и β(х) б.м. вычтем эти равенства
В-А=α(x) - β(х). перейдем к пределу в левой и правой части: lim x→a (В-А)= lim x→a (α(x) - β(х)) В-А=0 => В=А
Теор3. предел алгебраической суммы конечного числа ф-ии имеющих конечный предел = алгебраической сумме пределов этих ф-ий.
Т.е. lim x→a f(x)+g(x)-h(x)= lim x→a f(x)+ lim x→a g(x)-lim x→a h(x).
Док-во: Пусть lim x→a f(x)=А; lim x→a g(x)=B; lim x→a h(x)=C.
Тогда по теореме о связи предела и б.м. ф-ии f(x)-A= α(x), g(x)-B= β(х), h(x)-C=γ(х), где α(x), β(х), γ(х) – б.м. при х→а. f(x) + g(x) – h(x) – (A+B-C)= α(x) + β(х) - γ(х).
По теореме о связи б.м ф-ии и предела lim x→a f(x)+g(x)-h(x)=А + В – С= lim x→a f(x)+
+lim x→a g(x)-lim x→a h(x).
Теор4. предел произведения конечного числа ф-ий имеющих конечный предел = произведению пределов этих ф-ий.
lim x→a f(x)*g(x)= lim x→a f(x)*lim x→a g(x)
Следствие 1.постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim x→a С*f(x)=С*lim x→a f(x), где С – константа
Следствие 2. предел степени ф-ии имеющий предел = степени предела этой ф-ии limα x→a f(x) = (lim x→a f(x))α
Теор5. предел частного двух ф-ий имеющих конечный предел = частному пределов этих ф-ий при условии, что предел знаменателя ≠0.
lim x→a f(x)/g(x) = lim x→a f(x)/ lim x→a g(x), если lim x→a g(x)≠0
в случае, когда f или g иррациональное выражение. В этом случае умножаем и делим на выраж сопряженное иррациональному.
lim f(x)/g(x) = [0/0].