25. Свойства неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных данной непрерывной ф-ии наз-ся неопределенным интегралом от этой ф-ии и обозначается ∫f(x)dx – подынтегральным выражением.

Теор1. производная от непред-го интеграла равна подынтегральному выражению.

Док-во: пусть ф-я f(x) имеет первообразную F(x), тогда ∫ f(x)dx = F(x) + c.

Найдем производную и диф-л от обеих частей равенства

(∫f(x)dx)` = (F(x) + c)` = f(x), d(∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)`dx = f(x)dx

Теор2. деференциал от неопред интеграла=подынтыгральному выражению

df(x)dx=f(x)dx. Док-во: df(x)dx=(f(x)dx)dx=f(x)dx

Теор3. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Док-во: пусть ф-я f(x) имеет первообразную F(x). ∫f(x)dx = F(x) + C умножим обе части на k: k∫f(x)dx = kF(x) + C₁, где С₁ = kC.

Найдем производную ф-ии kF(x). (kF(x))` = kf(x).

Ф-ия kF(x) явл-ся первообразной ф-ии kf(x). Следовательно, ∫kf(x)dx = kF(x) + C, ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx.

Теор4.интеграл от диф-ла = этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого

Док-во: ∫df(x) = ∫f`(x)dx = f(x) + C

Теор5.неопред-ый интеграл от алгебраической суммы ф-ий = алгебраической сумме интегралов от этих ф-ий втра∫(f(x) + g(x) – h(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx - ∫h(x)dx.

Таблица основных неопределенных интегралов.

Теор.Пусть ф-ия u=(x) опред-на диф-ема на нек-ом промежутке Т, а Х-множество значений этой ф-ии, на к-ом определена ф-ия f(x). Ф-ия y=f(x) имеет первообразную F(x), на множестве Х, следовательно f(x)dx=F(x)+C, тогда f(u)du=F(u)+C

Док-во: Пусть ф-ия u=(x)-нек-ая непрерывная ф-ия. Найдем производную от первообразной (F(u))=(F((x)))=f((x))(x). Таким образом ф-ия F(u) явл-ся первообразной для ф-ии f((x))(x).

f(u)du = f((x))d((x)) = f((x))*f(x)dx = F(u)+C

Пояснение:Из теор следует, что в любом табл-ом интервале можно заменить аргумент фиы-емой ф-ии

26. Интегрирование некоторых рациональных и иррациональных дробей. Интегрирование подстановкой.

1) ʃdx/(ax+b)ⁿ = 1) 1/a ʃ (ax+b)^-nd(ax+b)=1/a((ax+b)^-n+1/(-n+1))+C, n≠-1; 2) 1/a ʃ (d(ax+b))/(ax+b)=1/a ln|ax+b|+C, n=-1.

2)В числителе и знаминателе стоят многочлены, причем степень числа ≥ степени знаменателя Пр: ʃ xdx/(x+3)= ʃ (x+3-3)/(x+3)dx= ʃ((x+3)/(x+3)-3/(x+3))dx= ʃdx - 3ʃdx/(x+3)= x-ln|x+3|+C; ʃx²dx/(x-5)= ʃ(x²-25+25)/(x-5)dx= ʃ((x²-25)/(x-5)+25/(x-5))dx = Создаем формулу содержащую знаменатель =ʃ(x+5)dx+ 25ʃdx/(x-5)= ʃxdx+ 5ʃdx+25ln|x-5|= x²/2+5x+25ln|x-5|+C

3) В знаменателе стоит квадратный трехчлен ʃdx/(ax²+bx+c), ʃdx/√(ax²+bx+c) В этих интегралаx выделяют полный квадрат и они сводятся к одному из 4-ёх табличных.(в табл. Последних)

Интегрирование подстановкой

Пусть фу-ия х=ɸ(t) определена и дифференцируемая на нек-ом промежутке Т, а Х-множество значений этих ф-ий, на к-ом определена ф-ия f(x), тогда если фу-ия у=f(x) имеет первообразную на промежутке Х, то но множестве Т справедлива ф-ла ʃf(x)dx= ʃf(φ(t)) φ́(t)dt

Док-во: Найдем деф-лы от обеих частей равенства *dʃf(x)dx= f(x)dx= f(φ(t))dφ(t)= f(φ(t)) φ́(t)dt *dʃf(φ(t)) φ́(t)dt= f(φ(t)) φ́(t)dt

Деф-лы от обеих частей =, значит сами интегралы могут отличаться лишь на постоянное слагаемое:

1.f(x)=(x;ⁿ√(ax+b)), ⁿ√(ax+b)=t => ax+b=tⁿ => x => dx

2.f(x)=(x;√(a²-x²)), 1)x=asint, 2)dx=acostdt

3.f(x)=(x;√(a²+x²)), 1)x=atgt, 2)dx=(a/cos²t)dt

27. Интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических функций. Теор.Пусть ф-ии u и v опред-ны и диф-мы на нек-ом промежутке Т и ф-ия (du*v) имеет на этом промежутке первообразную, тогда ф-ия du*v также имеет первообразную на промежутке Т. причем справедлива ф-ла: ∫u*dv = uv - ∫v*du

Док-во: найдем диф-л от произведения ф-ий u и v: ∫u*dv = u*v*∫vdu

Проинтегрируем обе части последнего равенства: ∫d(u*v) - ∫d(u*dv + v*du)

Интегралы берущиеся по частям

1. ʃ p(x) e^ax dx dv = e^ax dx

du = d(p(x)) – p`(x)dx

v = ʃdv

2. ʃp(x) ln xdx u = ln x

ʃp(x) arcsin xdx u = arcsin x; dv = P(x)dx

ʃp(x) arccos xdx u = arcos x

Интегрирование тригонометрических выражений

ʃsin^m ax * cosⁿ ax dx , где m,n – целые числа

а). Один из показателей m или n - нечетное положит-ое число. Разбиваем этот показатель на четное и нечетное число, далее в интегрировании испол-ся основ тригонометрическое тождество.

Пример: ʃsin³x cos²x dx = ʃsin²x * sinx * cos²x dx = ʃ(1 – cos²x) sinx*cos²xdx = ʃsinx*cos²x dx - ʃsinx *cos⁴x dx = -ʃcos²xdx*cosx + ʃcos⁴xd cosx = -(cos³x)/3 – cos⁵x)/5 + C

б). оба показателя m, n – четные неотрицательные числа, в этом случае подынтегральную ф-ю преображаем с помощью следующих тригонометрических формул: cos²x = (1-cos2x)/2 sinx*cosx = ½ sin2x sin²x = (1 + cos2x))/2

пример: ʃsin²x*cos²x dx = 1/4ʃsin²2x dx – 1/8ʃ(1 + cos4x)dx = 1/8(ʃdx + ʃcos4x dx) = 1/8(x + 1/4ʃcos4xdx) = 1/8(x + 1/4sin4x).

28. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть ф-я у=f(x) определена, непрерывна (следовательно, ограничена) на [a;b] на n произвольных частей точками a = x₀ < x₁ < x₂ <…< x_n = b.

Длину i –го отрезка (произвольного) разбиения обозначим ∆x_i = x_i – x_i-1 . внутри i –го отрезка разбиения выберем по произвольной точке с_i

И составим сумму: ∑ⁿ_i=1 f(c_i)*∆x_i = f(c₁)∆x₁ + f(c₂)∆x₂ + f(c_n)∆x_n (1).

Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].

Опред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается _a∫^b f(x)dx.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть ф-ия у=f(x) определена и непрерывна на [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками, в каждом отрезке разбиения возьмем по точке с_i и составим интегральную сумму ∑ⁿ_i=1 f(c_i)*∆x_i (2)

Выясним, что представляет собой геометр-ки интегральная сумма.

И з рис видно, что интегральная сумма = площади ступенчатой фигуры, ограниченной ломаной, вписано-описанной около графика ф-ии. При измельчении длин отрезков разбиения площадь этой фигуры будет неограниченно приближаться к площади фигуры, заключенной м/у графиком ф-ии и осью ОХ на отрезке [a;b].

С др стороны, предел интегральной суммы вида (2) при измельчении длин отрезков разбиения =определенному интегралу _a∫^b f(x)dx, следовательно, опред-ый интеграл = площади криволинейной трапеции, заключенной м/у графиком ф-ии и осью ОХ на отрезке [a;b].