37. Линейные дифференциальные уравнения.

Опред1.Уравнения, содержащее независимую переменную ф-ии, от этой переменной и ее производные различ порядков, наз-ся диф-ные уравнения. Общий вид f(x; y;yⁿ;…y⁽ⁿ⁾)=0

Линейным дифф-ым урав-ем наз-ся ур-е первого порядка, содержащее ф-ию у и ее производную в первой степени, и не содержащее произведение у*у`

a(x) y` + b(x)y + c(x) = 0 a(x)≠0

Разделим обе части уравнения на a(x)/

y` + p(x)y + q(x) = 0 (2), где p(x) = b(x)/a(x), q(x) = c(x)/a(x)

Будем искать реш-е ур-я (2) в виде произведения 2х неизвестных ф-ий: y = u*v

Подставим у = u*v в (2)

u`v + v`u + p(x)uv + q(x) = 0

v(u` + p(x)u) + v`u + q(x) = 0 (3)

выберем ф-ию u так, чтобы u` + p(x)u = 0:

(du)/(dx) = -p(x)u,

(du)/u = -p(x)dx,

∫(du)/u = ∫(-p(x))dx,

lnu = -∫p(x)dx,

u = e^-∫P(x)dx .

подставим полученную ф-ию u(x) в (3) и найдем v(x):

v`e^-∫P(x)dx + q(x) = 0

(dv)/(dx)*e^-∫P(x)dx = -q(x)

dv = -q(x)* e^-∫P(x)dx dx

∫dv = -∫q(x)* e^-∫P(x)dx dx

v = -∫q(x)* e^-∫P(x)dx dx + C.

Подставим ф-ии u(x) и v(x) в выражение для у: у = u*v = (-∫q(x)* e^-∫P(x)dx dx + C)*

e^-∫P(x)dx – общее решение линейного диф-го ур-я первого порядка.