15. Производная основных элементарных функций.

Производной ф-ии в данной точке наз-ся предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0, если этот предел сущ-ет и конечен. Ф-ия наз-ся дифференцируемой в точке х_о. lim_х0у/х=f( х_о).

Теор1(производ сложных ф-ий). Если ф-ии у=f(z) z=(x) диф-емые ф-ии своих аргументов, то их суперпозиция явл-ся диф-емой ф-ей,причем сл ф-ии=производ внеш ф-ии по промежут аргум по независимой переменной (f((x)))=f((x))(x).

Теор2(Лагранжи). Конеч приращение диф-ой ф-ии=произвед соответвет приращ аргумента на производ ф-ии в нек-ой промежут точке. f(x₂)-f(x₁)=f(c)(x₂-x₁).

Теор3(Ролля). м/у 2-мя нулями диф-емой ф-ии всегда найдется хотя бы один ноль производной. Выведем формулу производн основ элементов ф-ии:

1. Произв логарифмической ф-ии. у=lnx

1).y+y=ln(x+x)

2)y=ln(x+x) y=ln(x+x)-lnx-ln((x+x)/x)=ln(1+x/x)

3).y/x= =(1/x) ln(1+x/x)

4).lim_х0y/x=lim_х0(1/x)*ln(1+x/x), (x/x=x=x, x00)

5). y=lim_0(1/(x))ln(1+); y=(1/x)*lim_0(1/)ln(1+); y=(1/x)* *lim_0ln(1+)^1/

В силу непрерывности логарифмической ф-ии и используя св-во непрерыв-ти(4), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем II замеч предел: y=(1/x)lnlim_0(1+)^1/; y=(1/x)lne; y=1/x; (lnx)=1/x; (lnu)=u/u.

2.Произв логарифма по др основным. y=log_ax y=(log_ax)=(lnx/lna)= =(1/lna)(lnx)=1/(xlna); (log_au)=u/(ulna).

3.Произв показ ф-ии. а). y=e^x возмем ln от лев и прав частей равенства: lny=lne^x; lny=xlne; lny=x. Ищем проивод от обеих частей послед равенства: (lny)=x, y/y=1, y=y, y=e^x; (e^u)=e^uu. б). y=a^x, lny=lna^x, (lny)=x(lna), y/y=xlna+x(lna)=lna, y=ylna; (a^u)=a^ulnau.

4.Производ степ-ой ф-ии. y=xⁿ, lny=lnxⁿ, lny=nlnx, y/y=nlnx+n(lnx)=n(1/x), y=yn/x=xⁿn/x=nx^n-1; (uⁿ)=nu^n-1n.

5.Производ тригонометр ф-ии.

А).y=sinx, y+y=sin(x+x), y=sin(x+x)-sinx=2sin((x+x-x)/2) cos((x+x+x)/2)=2sin(x/2)*cos((2x+x)/2), y/x=(2sin(x/2)* *cos((2x+x)/2))/x, lim_х0y/xlim_х0(sin(x/2))/(x/2))* *lim_х0cos(x+x/2), y=lim_х0cos(x+x/2), y=lim_х0cosx, y=cosx; (sinu)= =cosuu.

Б).y=cosx, y+y=cos(x+x), y=cos(x+x)-cosx=-2sin((x+x-x)/2)* *sin((x+x+x)/2) = -2sin(x/2)sin(x+x/2), y/x = (2sin(x/2)* *sin(x+x/2))/x, lim_х0y/x = lim_х0(sin(x/2))/(x/2) * *lim_х0sin(x+x/2), y=-lim_x0sin(x+x/2), y=-sinx; (cosu)=-sinuu.

В).y = tgx, (sinx/cosx) = ((sinx)cosx-sinx(cosx))/cos²x = (cos²x+sin²x)/ cos²x=1/cos²x; (tgu)=1/cos²x.

Г).y=ctgx, (cosx/sinx)=((cosx)sinx-cosx(sinx))/sin²x=(-sin²x-cos²x)/sin²x= =-1/sin²x; (ctgu)=-1/sin²x.

6.Производ обратн тригонометр ф-ий. А).y=arcsinx (-1<x<1, -п/2<y<п/2) обратная ф-ия имеет вид х=siny, причем x_y=cosy. Сущ-ет правило дифференцирования обратной ф-ии: для диф-ия ф-ии с производной не = 0 производная обратной ф-ии =обратной величене производной данной ф-ии. y_x=1/x_y=1/cosy, y_x=1/(√1 – sin²y)=1/(√1 – x² ); (arcsinu)=u/(√1 – u²). Б). (arccosu)=-=u/(√1 – u²). В).(arctgu)= =u/(1+u²). Г).(arcctgu)=-u/(1+u²).

16.Дифференциал функции. Связь между производной и дифференциалом.

Производной ф-ии в данной точке наз-ся предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0, если этот предел сущ-ет и конечен. Ф-ия наз-ся дифференцируемой в точке х_о. lim_х0у/х=f( х_о).

П усть y=f(x) определена на промежутке х и диф-ема в нек-ой окрестности т.х_о х, тогда для неё сущ-ет конечная производная y=lim_x0y/x. По теории о связи предела и беск. м. y/x=y+(x), где (х)-б.м. при х0 Отсюда y=yx+(x)x. Таким образом приращ ф-ии у можно представить в виде суммы 2-х слагаемых:1-линейного относит-но х и б.м. при х0. Опред.Дифференциалом ф-ии наз-ся линейная относит-но х часть приращения ф-ии, равная поизведению производ на приращ аргумента… dy=yx. Получим формулу, применяемую для практич расчетов. Рассмотри у=х и найдем её d: dy=dx=x тогда dy=yx. Например, найти d: y=4x²-3x+1, y=8x-3, dy=(8x-3)dx. Выясним геометрич смысл дефференциала:

Из АВС: ВС=tgx=yx=dy таким образом d есть приращ ордината касательной к графику ф-ии в т х_о, когда аргумент получ приращ х