- •2.Предел функции. Геометрический смысл предела функции.
- •3. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства б.М. И б.Б. Функций.
- •5. Основные теоремы о пределах (разделено на несколько билетов).
- •6. Признаки существования пределов.
- •7. Первый замечательный предел, второй замечательный предел.
- •8. Непрерывность функции в точке.
- •10. Точки разрыва функций.
- •11. Производня функция.
- •12. Геометрический смысл производной.
- •13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •14. Свойства производных
- •15. Производная основных элементарных функций.
- •17.Свойства дифференциала.
- •18.Применение дифференциала к приближенным вычислениями.
- •19.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
- •20. Возрастание и убывание функции.
- •21. Экстремумы функции.
- •2 2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •23. Асимптоты графика функции.
- •24. Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •25. Свойства неопределенного интеграла.
- •26. Интегрирование некоторых рациональных и иррациональных дробей. Интегрирование подстановкой.
- •29. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.
- •30. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной в определенном интеграле.
- •31.Вычисление площадей плоских фигур
- •32.Вычисление объемов тел вращения
- •33.Несобственный интеграл первого рода.
- •34.Несобственный интеграл второго рода.
- •35.Дифференциальные уравнения
- •36.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
- •37. Линейные дифференциальные уравнения.
34.Несобственный интеграл второго рода.
При определении опред-ого интеграла предполагалось, 1.отрезок интегр-ия конечен. 2.Ф-ия непрерывна на отрезке интр=егрирования:еслинарушено одно из условий, то опред-ый интеграл наз-ся несобственным интегралом, причем если отрезок интегрирования неограничен, то интеграл наз-ся несобственным интегралом Iрода, а если же ф-ия неограниченна на отрезке интегрирования, то интеграл наз-ся несобственным интегралом IIрода.
Если ф-ия неограниченна на промежутке интегрирования и этот промежуток интегрир-ия конечен, то опред-ый интеграл явл-ся несоб-ным интегралом IIрода. Пусть ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на [а;в) и в т.в ф-ия неогранична, тогда аи f(x)dx=limε∞аb-ε f(x)dx. Если lim стоящ справа сущ-ет и конечен, то несоб-ый интеграл наз-ся сходящимся= значению этому lim, ну или наоборот интеграл на-ся расходящимся. Если F(x) явл-ся первообразной для f(x), то аb f(x)dx=limb∞аb-ε f(x)dx= limb∞F(x)ab-ε=limε∞F(b-ε)-F(a). Аналогично вводится понятие несоб-ного интеграла от ф-ии y=f(x) непрерывна и неогранична (а;в] аb f(x)dx= limε∞а-εb f(x)dx
Пример, ∫-20 dx/(5√x+2) = limɛ →0∫-2+ɛ 0 (x + 2)-1/5d(x + 2) = limɛ →0(x+2)4/5/(4/5) |ɛ-2 0 =5/4limɛ →0(5√24 - 5√(-2+ɛ+2)4) = 5/4(5√16 – limɛ →0 5√ɛ4) = (5*5√16)/4 сходящийся
35.Дифференциальные уравнения
Дифференциалом ф-ии наз-ся линейная относит-но х часть приращения ф-ии, равная поизведению производ на приращ аргумента… dy=yx
Опред1.Уравнения, содержащее независимую переменную ф-ии, от этой переменной и ее производные различ порядков, наз-ся диф-ные уравнения. Общий вид f(x; y;yn;…y(n))=0
Опред2.Наивысший порядок производной входящий в диффер-ое уравнение, наз-ся порядком диффер-ого уравнения.
Опред3.Решение диф-ого уравнения наз-ся такая ф-ия y=(x), к-ая при подстановке её в этой диф-ые уравнение обращает его в тождество.Задача о нахождении решения нек-ого диф-ого уравнения наз-ся задачей интегрирования данного диф-ого уравнения.
Опред4.Решение диф-ого уравнения n-ого порядка, содержащего n производных постоянных наз-ся общим решением диф-ого уравнения.
Опред5.Если в результате интегрирования диф-ого уравнения получена зависимость м/у х и у, из к-ой не удается явно явно выразить у, то эта зависимость на-ся общим интегралом диф-ого уравнения
Опред6.Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, наз-ся частным решением диф-ого уравнения.
36.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
Опред1.Уравнения, содержащее независимую переменную ф-ии, от этой переменной и ее производные различ порядков, наз-ся диф-ные уравнения. Общий вид f(x; y;yn;…y(n))=0
Пусть дано дифферен-ое уравнение I порядка р(х;у) у+Q(x;y)=0 может оказаться, что ф-ии р(х;у) и Q(x;y) явл-ся произведением 2-х ф-ий: одна зависит только от х; вторая только от у.
Р(х;у)=f1(x)*f2(y); Q(x;y)=1(x)*2(y)
f1(x)*f2(y)*y+1(x)*2(y)=0; f1(x)*f2(y)*y=-1(x)*2(y)
По опред производной у=dy/dx: f1(x)*f2(y)*(dy/dx)=-1(x)*2(y) /*dx
f1(x)*f2(y)*dy=-1(x)*2(y)dx /*f1(x)*1(x)0
f2(y)/2(y)*dy=-1(x)/f1(x)*dx
Проинтегрировав это выражение, получим общее решение: f2(y)/2(y)dy=- 1(x)/f1(x)dy