21. Экстремумы функции.

Точка Хо Є (а;b) называется т. максимального max (min) фу-ии если найдется нек-ая окрестность этой т. для всех т. к-ой будет выполнятся неравенство

f(X) < f(Xо) ( f(X) > f(Xо) )

Точка локального max и min называют т. экстремума

Теор1 (необходимый признак существования экстр. Фу-ии) Если т. Xо является т. локального max (min) фу-ии, то производная в этой т.=0 или не существует.

Следствие.В т. экстремума, касательная : а) либо ǁ оси Ох б)либо не сущ-ет.

Данный признак не явл-ся достаточным для сущ. Экстремума. Т.е. из того, что производная= 0 или не сущ, в нек-ой т. не следует, что в этой т. есть экстремум.

! Точки, в к-ых 1-ая производная = 0 или не сущ. Наз-ся критическими точками. Если фу-ия имеет экстремумы, то они могут быть только в крит. Точках.

Теор 2 ( достаточный признак суще-ния экстремума) Если 1-ая производная фу-ии в т. Хо =0 или не сущ. и при переходе через нее производная меняет знак, то данная т. явл-ся точкой экстремума, причем max с + на - , и min с – на +

2 2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Опред1. График фу-ии y=f(x) наз-ют выпуклым (вогнутым) на интервале (a;b), если касательная, проведенная к граф-у фу-ии находится над (под) граф-ом фу-ии.

Теор1Если 2-ая производная 2 группы дифференцирована на нек-ом интервале «-» («+») , то график фу-ии на этом интервале выпуклый (вогнутый)

Опред 2. Точки в к-ых график фу-ии меняет направение выпуклости, наз-ют т.

перегиба фу-ии.

Теор2 (необходимый признак т. перегиба) Если т. Хо явл-ся точкой перегиба графика 2-жды дифференцированной фу-ии, то в этой т. 2 производная = 0

Опред 3 Т. в которых 2-ая производная = 0 или не сущ. называется крит. Точкой 2 производной. Если фу-ия имеет т. перегиба, то они могут быть только в критич. т.

Теор3 (достаточный признак т. перегиба) Если 2-ая производная 2-жды дифференцированной фу-ии в нек-ой т. = 0 и при переходе через нее 2-ая производная меняет знак, то данная т. явл-ся т. перегиба

23. Асимптоты графика функции.

Графики нек-ых фу-ий расположены на плоскости так, что они неограниченно приближаются к нек-ой прямой. Эти прямые наз-ся асимптотами графика фу-ции.

Опред1.Прямая х=а наз-ют вертикальной асимптотой к графику фу-ии у=f(x), если хотя бы 1из односторонних пределов ( lim_ха+0 f(x) или lim_ха-0 f(x) ) = +∞ или -∞. Как правило в т. а фу-ия терпит разрыв 2 рода

Опред2.Прямая у=b наз-ся горизонт-ой асимптотой к графику фу-ии у=f(x), если lim _{x→± ∞}f(x) = b

Опред3.Прямая y=kx+b- наклонная асимптота к графику фу-ии у=f(x),если фу-ию можно представить в виде f(x)=kx+b+d(x), где d(x) –бм при х∞

24. Первообразная. Неопределенный интеграл.

Опред1.первообразной ф-ей F(x) для ф-ии f(x) называется ф-я, производная которой равна исходной ф-ии. (F(x))` = f(x)

Теор1(Коши). Любая непрерывная на нек-ом множестве ф-ия имеет на этом множестве первообразную. Пример: 1). ф-ия F(x) = х³ явл-ся первообразной ф-ии f(x) = 3х² так как (х³)` = 3 х² 2).Ф-ии F₁(x) = х³ + 3 и F₂(x) = х³ – 2 также явл=ся первообразными ф-ии f(x). Любая ф-ия вида F(x) = х³ + с, где с – произвольное число, явл-ся первообразной ф-ии f(x).

Каждая ф-ия может иметь бесконечно много первообразных, к-ые отличаются на постоянное слагаемое. Верно и обратное утверждение.

Теор2. если F₁(х) и F₂ (х) – две первообразные для ф-ии f(x), то они отличаются на постоянное слагаемое.

Опред2.совокупность всех первообразных данной непрерывной ф-ии наз-ся неопределенным интегралом от этой ф-ии и обозначается ∫f(x)dx – подынтегральным выражением.

Если F(x) – нек-ая первообразная данной ф-ии, то ∫f(x)dx = F(x) + C, где С – произвольная постоянная.