29. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.

∑ⁿ_i=1 f(c_i)*∆x_i = f(c₁)∆x₁ + f(c₂)∆x₂ + f(c_n)∆x_n (1).

Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].

Опред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается _a∫^b f(x)dx.

1.При перемене местами пределов интегрирования, определенный интергал меняет знак на противоположный. _а^в f(x)dx=-_в^аf(x)dx

2.Опред-ый интеграл с одинаковым пределом и интегрирования =0. _а^в f(x)dx=0

3 .Постоянный множ-ль можно выносить за знак опред-ого интеграла _а^в f(x)dx=k_а^в f(x)dx, где k=const

4.Если ф-ии f(x) и g(x) интегр-мы по отрезку (а;в), то их алгебраическая сумма также интегрируема по отрезку (а;в), причем интеграл от алгеб-ой суммы = алгеб-ой суммы интегралов _а^в (f(x)g(x))dx=_а^в f(x)dx_а^в g(x)dx

5.Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке = сумме интегралов для каждой из возникших частей _а^в f(x)dx=_а^с f(x)dx+_с^в f(x)dx

6.Опред-ый интеграл с семетричными пределами интегрирования =: а) _-а^а f(x)dx=0, где f(x)-нечетная ф-ия; б) _-а^а f(x)dx=2_-а^а f(x)dx, где f(x)-четная ф-ия

Формула Ньютона-Лейбница. Если ф-ия y=f(x) интегрируема на отрезке (а;в), то очевидно, что она интегрируема также на произвольном отрезке [а;х] вложенном в отрезок (а;в): Ф(х)= _а^х f(x)dx=_а^t f(x)dt, где Ф(х)наз-ся ф-ей или интегралом с переменным верхним пределом.

Теор. Пусть ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке(а;в)и ф-ии F(x) любая первообразная для f(x) на (а;в), тогда определенный интеграл на (а;в)=приращению первообразной на этом отрезке. _а^в f(x)dx=F(x)_a^b=F(b)-F(a). Пример: ₁²2^3х-4dx=₁² 2^3х-4d(3х-4)=(1/3)(2^3х-4/ln2)₁²=1/3((2^3*2-4/ln2)-(2^3-4/ln2))=1/3ln2(4-1/2)=(1/3ln2)(7/2)=7/6ln2

30. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной в определенном интеграле.

∑ⁿ_i=1 f(c_i)*∆x_i = f(c₁)∆x₁ + f(c₂)∆x₂ + f(c_n)∆x_n (1).

Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].

Опред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается _a∫^b f(x)dx.

1.Пусть ф-ии u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Проинтегрируем равенство для дифферен-ов d (u v) = vd u + ud v по отрезку [a;b]. _a∫^b d (u v) = _a∫^b vd u +_a∫^b ud v,

uv|^b_a = _a∫^b vd u +_a∫^b ud v, _a∫^b ud v = uv|^b_a - _a∫^b vd u, - это ф-ла интегрирования по частям в опред-ом интеграле. Эта ф-ла применяется к тем же типам интегралов, к-ые были рассмотрены в неопред-ом интеграле.

2.Пусть у=f(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на этом отрезке она имеет первообразную F(x). _a∫^b f(x)dx = F(b) – F(a)

Пусть ф-ия х = φ(t) явл-ся диффер-мой ф-ей на [α;β] и ее производная непрерывна на [α;β]. Она переводит отрезок [α;β] в [a;b]. φ: [α;β] → [a;b].

φ (α) = a, φ (β) = b (концы переводит в концы).

Тогда справедлива ф-ла замены переменной в опред-ом интеграле: _a∫^b f(x)dx = _a∫^b f(φ(t)) φ`(t)dt.