1. Матрица-таблица чисел,содержащая одинаковое количество строк или столбцов одной длины. Числа составляющие матрицу,называются элементами матрицы.

Матрицы равны между собой,если равны все соответств. элементы этих матриц.Кводратной,называют матрицу,у которой число строк равно числу столбцов.Диоганальной,называют матрицу,у которой все элементы кроме главной диог. равны нулю.Еденичной,называют диог. матрицу,у которой каждый элемент кроме главной диоганали равен еденице. Треугольной,называют кв. матрицу,у которой все элементы равные нулю,и расположены по одну сторону от диог. Нулевая матрица-все элементы равны нулю.Матрица сод. только один столбец или строку наз.вектором.

2. ЭПМ: 1.перестановка местами 2-х переллельных рядов матрицы; 2.умнож.всех элементов ряда мат. на число, отличное от 0; 3.прибавление ко всем элементам ряда мат.соотв.элем. параллель.ряда,умнож. на одно и тоже число.2 матр.А и В называют. эквивалент.,если 1-на из них получ.из др.с пом.ЭП.При помощи ЭП любую матр. можно привести к матрице, у котор. в начале главн.диагон. стоят подряд неск.1,а все ост.элем.= 0. Такую мат.наз.канонической. Умн.производит.,если число столб. 1-й мат. = числу строк 2 матрицы. Мат. А и В назыв. переставочными, если АВ=ВА.

3. Определитель - это число, кот. находится по опред.правилу. Определитель мат. А наз. её детерминантом. Вычисл.опред.2-го поряд.: |::|=|:\:|-|:/:|. Вычисление определ.3-го пор.производит. по правилу ∆-ка. Св-ва опред.: 1.определ. не изм.если его строки замен.столб.и наоборот; 2.при перестанов.2-х параллел.рядов,опред. меняет знак; Опр.не меняет абсолют. знач., а только меняет знак. 3.Определит. имеющ. 2 один. ряда=0; 4.Общий множитель элемента как-либо ряда опер.,можно выполн.за знак опре. Из св-в 3 и 4 след., что все элементы некот. ряда пропорц. соотв.элем.параллел.ряда,то такой опред=0. 5.Если элемент какого-либо ряда опр.можно представить ввиде суммы 2-х слагаемых, то опр.можно представить ввиде суммы 2-х опред.,отличающ.тем, что ряд 1-го опр.это 1-ые слаг.,а 2-го – 2-ые слаг; 6.Опредит. не изменитс.если к элем.1-го ряда прибавить соответств. элем. параллел. ряда, умноженное на любое число; 7.Опр.=сумме произвед. элем. некот.ряда на соотв. им алгебраич. дополн; 8.Сумма произ. элем. какого-либо ряда опредил.на алгебр. дополн. соответст.элементов параллельного ряда = 0.

4. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором некот.элемента a_ij, определит. n-го порядка, назыв.определитель матриц.n -1-го пор.полученнный из мат. А вычёпкиванием ij. Обознач. Mij. Алгебраич.дополн. элемен.aij опред.наз.его минор,взятый со знаком +,если сумма i+j – чётное число, и со знаком -, если эта сумма нечёт.

5.Невырожденной наз. матрица,если определ. не равен нулю,в противном случае она-вырожденная.Всякая вырожденная матрица имеет обратную.

Свойства обратной матрицы:

Билет 6

Ранг матрицы-наибольший из порядков миноров данной матрицы,отличных от нуля.

Базисный-минор,порядок которого определяет ранг матрицы.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд,то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали.

Билет 7

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если оно не имеет ни одного решения.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Билет 8

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Билет 9

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Отыскание решения системы по формуле называются матричным способом решения системы.

Формулы Крамера:

Билет 10

1. Система приводится к ступенчатому виду.

2. Идёт последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Надо преобразовать систему, исключив неизв. х1 во всех уравнениях, кроме первого.

Билет 11

• Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг основания матрицы был меньше числа неизвестных.

• Для того, чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель (дельта) был равен нулю.

Билет 14

Вектор – это направленный прямоугольный отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.

Векторы называются коллиниарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскастях. Если среди трёх векторов хотя бы один нулевой или два коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Билет 15

Линейные операции над векторами – это сложение(правило треугольника) и вычитание векторов, а также умножение вектора на число. Можно вычислить векторы по правилу: a-b=a+(-b), вычитание векторов заменяем сложением. Свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, выносить за скобки, группировать.

Билет 16

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей, числа (a_y, a_z, a_x) называются координатами вектора «а».

Модуль вектора равен:

Сумма квадратов направляющих косинусов нулевого вектора:

Билет 17

Парал.перенос-переход от сист.коорд.Оху к новой сист.О₁х₁у₁, при котором меняется положение начала корд.,а направл.осей и масштаб остаются неизменными.Поворот осей координат-преобраз.координат,при котором обе оси поворач.на один и тот же угол,а начало корд. и масштаб остаются неизменными.

Билет 18

Скалярным произведением двух нулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

1. Обладает переместительным свойством ab=ba

2. Обладает сочетательным свойством

3. Распределительным свойством a(b+c)=ab+ac

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

5. Если векторы перпенд., то их скалярное произв. равно нулю

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

Приложения скалярного произведения:

1. Угол между векторами;

2. Проекция вектора на заданное направление;

3. Работа постоянной силы;

Билет 19

Векторным произв. называется вектор, который:

1. Перпенд. вект a и b.

2. Имеет длину числ. равную площади параллелогр.,построенного на векторах.

3. Вектор a и b,с образуют правую тройку.

Св-ва вект. произв.:

• При перестановке сомножителей, вект. произв. меняет знак.

• Вект. произв. облад. сочетательным св-ом.

• Два нулевых вект. коллинеарны тогда, когда их векторное произв. равно нулевому вект.

• Вект. произв. обладает распред. св-ом.