50. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной системы линейных уравнений.

С

труктура общего решения неоднородной линейной системы.

Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2):

.

Докажем следующие свойства ее решений:

Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).

Доказательство.

Пусть с₁, с₂,…,с_n – решение системы (2.2), а d₁, d₂,…,d_n – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) x_i=c_i+d_i: .

После перегруппировки слагаемых получим: .

Но Следовательно, x_i=c_i+d_i является решением системы (2.2).

Св. 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).

Доказательство.: Пусть и - решения системы (2.2). Тогда

Утверждение доказано.

Следствие 3. Общее решение неоднородной системы (2.2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (4.2) и частного решения системы (2.2).

Тема 5. Квадратичные формы

51. Квадратичная форма, ее матрица, матричная запись квадратичной формы.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂ : Ф(х₁, х₂) = а₁₁ не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂. Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

Тема 6. Алгебра векторов

52. Геометрический вектор, модуль вектора, коллинеарные и компланарные вектора.

Вектором называется направленный отрезок. К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

53. Свободные, скользящие и связанные вектора.

Свободные векторы – это векторы, начальная точка которых может быть выбрана произвольно.

Скользящие векторы – это равные между собой векторы, расположенные на одной прямой.

Связанные (присоединённые) векторы – это векторы, для которых важна точка приложения (пример: использующихся в физике).