95. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

                                           рис.6.                                             рис.7                                           рис.8.

Теорема. Пусть плоскость α задана общим уравнением , а прямая L задана каноническими уравнениями                           или параметрическими уравнениями                   ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости α,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,    – координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость α в точке, координаты которой  можно найти из системы уравнений

       ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что векторы  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если Ax₀+By₀+Cz₀+D=0, то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а Ax₀+By₀+Cz₀+D≠0, то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

96. Угол между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.



 В координатной форме:

 Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

параллельность

перпендикулярность.

97. Расстояние от точки до плоскости.

П усть дана плоскость с уравнением (r-r₀,n) = 0 и точка М с радиус-вектором R. Рассмотрим вектор , соединяющий начальную точку плоскости, с M. Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор n, т.е.:

Если в декартовой прямоугольной системе координат точка М имеет координаты (x, y, z) то равенство h записывается согласно условиям 1 и 2 так:

Условие 1: Пусть x, y, z – компоненты вектора r в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение (r-r₀,n) при n≠0 записывается линейным многочленом Ax+By+Cz+D (A²+B²+C² ≠0).

Обратно для любого многочлена найдутся такие векторы r₀ и n≠0, что в заданной общей декартовой системе координат Ax+By+Cz+D=(r-r₀,n).

Условие 2: Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами А, В, С является нормальным вектором для плоскости с уравнением Ax+By+Cz+D=0.