32. Обратная матрица для произведения матриц.

33. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим линейную систему (2.3): и введем следующие обозначения:

- матрица системы, - столбец неизвестных,

- столбец свободных членов. Тогда систему (2.3) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В. (3.1)

Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица

Умножим обе части равенства (3.1) слева на Получим:

Но тогда , а поскольку (3.2)

Итак, решением матричного уравнения (3.1) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (2.3).

34. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

(берём матрицу и считаем: складываем, вычитаем, умножаем)

35. Собственные числа и собственные столбцы матрицы.

Если и , то λ – собственное значение, - собственный вектор

36. Характеристический многочлен.

Выберем базис и обозначим через А матрицу линейного преобразования А в этом базисе. Тогда преобразование А-λЕ имеет матрицу А-λЕ, и его ядро отлично от нуля тогда и только тогда, когда

(1)

Равенство, рассматриваемое как условие на λ , называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни - характеристическими числами матрицы А. Разумеется, в вещественном пространстве в качестве множителей допускаются только вещественные числа, и собственные значения должны быть вещественными. В соответствии с этим имеет место

Теорема. В комплексном пространстве все корни характеристического уравнения и только они являются собственными значениями. В вещественном пространстве то же справедливо для вещественных корней характеристического уравнения.

Левая часть характеристического уравнения представляет собой многочлен степени n. Детерминант равен алгебраической сумме произведений, в каждое из которых входит по n элементов матрицы. Содержат λ только элементы, стоящие на главной диагонали. Существует одно произведение , (2)

в котором все сомножители содержат λ. Если в какое-нибудь другое произведение вошел сомножитель ,

то в него не могут войти сомножители и . Поэтому каждый член суммы, кроме (2), содержит λ в степени не выше, чем n-2. Раскрывая скобки в выражении (2), выпишем два члена со старшими степенями λ:

.

Эти же члены будут старшими во всем многочлене. Свободный член многочлена равен его значению при λ=0, а это значение равно det(A-0E)=det A. Таким образом:

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А.

37. Собственные числа вещественной симметричной матрицы.

Вещественное число λ и вектор z называются собственной парой матрицы A, если они удовлетворяют следующему условию: Az = λz. При этом для вещественной матрицы A может быть поставлена задача поиска только собственных чисел, или как собственных чисел, так и векторов.

В случае, если вещественная матрица A размером NxN симметрична, у неё есть N собственных чисел (не обязательно различных) и N соответствующих им собственных векторов, образующих ортонормированный собственный базис (в общем случае собственные векторы не ортогональны, причем их может быть и меньше, чем N).