4. Извлечение квадратного корня, корни высших степеней,

Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

О тсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

5. Корни из единицы.

Теорема: Из любого числа можно извлечь корень n-ой степени и их будет n, при условии, что числа комплексные. Привязка каждый многочлен имеет n корней.

Корень n степени из единицы:

Пусть r=1 тогда z=1*e^iφ = e^iφ. Извлечь – найти число которое при возведение даст исходное.

Для z=e^iφ (z_k)ⁿ=z z^1/n=z_k , при z=e^iφ= e^i(φ+2Пk)/n

6. Многочлены одной переменной, операции над ними.

Многочлены от одного неизвестного: f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+х⁰aⁿ

Многочлен неизвесного – сумма степеней его неизвестного. n=det(f(x)); n принадлежит натуральным числам, f(x)=g(x) когда равны коэф-ты при равных степенях

g(x)=b₀xⁿ+…b_n; a₁=b₁; a₂=b₂; a_n=b_n

f(x)+g(x)=c(x); c(x)=c₁xⁿ+c₂x^n-1+…+c_n; c₁=a₁+b₁; c₂=a₂+b₂; c_n=a_n+b_n

d(x)=f(x)*g(x); d_i=∑_k+b=ca_kb_e

S=det(g(x)); n+S=det(g(x)*f(x)

Законы сложения и умножения:

1. Коммутативность: f(x)+g(x)=g(x)+f(x); f(x)*g(x)=g(x)*f(x)

2. Ассоциативность: f(x)+[g(x)+φ(x)]=[f(x)+g(x)]+φ(x)

3. Дистрибутивность: [f(x)+g(x)]*φ(x)=f(x)*φ(x)+g(x)*φ(x)

4. Обратимость сложения: для любых f(x), g(x) существует такое h(x), что f(x)+h(x)=g(x)

7. Алгоритм деления с остатком.

Алгоритм деления с остатком – это порядок совершения действий при делении.

x ⁴+x³-3x²-4x-1 x³+x²-x-1

x⁴+x³-x²-x x

-2x-3x-1 Для любых f(x), g(x) существуют такие q(x), r(x), что f(x)=g(x)*q(x)+r(x)

8. Делимость многочленов, ее свойства.

Пусть существуют f(x), g(x). Если f(x) делится на g(x), и g(x) делится на φ(x),

1) то f(x) делится на φ(x)

2) f(x)±g(x) делится на φ(x)

3) f(x) делится на φ(x), f(x)*g(x) делится на φ(x)

4) всякий многочлен f(x) делится на многочлен нулевой степени

5) если f(x) делится на φ(x) или f(x) делится на c*φ(x), то c=const

Даны два многочлена f(x) и g(x), многочлен φ(x) будет называться их общим делителем, если он является делителем и g(x), и f(x)

9. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.

Наибольшим общим делителем f(x) и g(x) называется такой многочлен d(x), который является их общим делителем и делится на любой другой делитель многочлена.

Алгоритм Евклида f(x) делится на g(x);

f(x)=g(x)*q₁(x)+r₁(x); g(x)=r₁(x)*q₂(x)+r₂(x); r₁(x)=r₂(x)*q₃(x)+r₃(x) … r_k-2(x)=r_k-1(x)*q_k(x)+r_k(x); r_k-1=r_k(x)*q_k-1(x)

т.е. при каждой новой итерации делимым становится делитель из предыдущего выражения, новым делителем становится остаток от предыдущего деления. Так продолжается, пока остаток не станет равен нулю. Полученный делитель и будет максимальным для обоих многочленов f(x) и g(x)

10. Метод Горнера.

Метод Горнера – это метод разложения многочлена по степеням.

f(x)=a₀xⁿ+…a_n f(x)=(x-a)*g(x)+r(x), здесь g(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-1, тогда коэф-ы a, b связаны следующим образом b₀=a₀, b₁=ab0+a1, b₂=ab₁+a₂ … b_n-1=ab_n-2+a_n-1, r =ab_n-1+a_n

	a0	a1	a2	…	an-1	an
a	b0=a0	b1=ab0+a1	b2=ab1+a2	…	bn-1	r