- •Тема 1. Элементы общей алгебры
- •Комплексные числа, действия над ними.
- •Тригонометрическая форма, сопряженные числа.
- •Формула Муавра.
- •Извлечение квадратного корня, корни высших степеней,
- •Корни из единицы.
- •Многочлены одной переменной, операции над ними.
- •Алгоритм деления с остатком.
- •Делимость многочленов, ее свойства.
- •Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.
- •Метод Горнера.
- •Основная теорема алгебры (без док-ва).
- •Формулы Виета.
- •Тема 2. Теория определителей
- •Определители второго и третьего порядка.
- •Определители -го порядка. (определители высших порядков)
- •Перестановки, инверсии.
- •Три свойства перестановок.
- •Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.
- •Свойства определителей: разложение определителя по строке.
- •Определитель ступенчатой матрицы.
- •Тема 3. Алгебра матриц
- •Линейное преобразование, умножение линейных преобразований.
- •Произведение матриц.
- •Матричная запись линейного преобразования и системы линейных уравнений.
- •Ассоциативность умножения матриц, транспонирование произведения матриц, умножение на единичную матрицу.
- •Сложение, вычитание матриц, произведение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матрицы на число.
- •Законы дистрибутивности, ассоциативность умножения на число, скалярная матрица.
- •Линейная комбинация матриц, многочлен от матрицы.
- •Сложение и умножение многочленов от матриц.
- •Обратная, неособенная, взаимная матрица.
- •Условие существования, вычисление обратной матрицы.
- •Обратная матрица для произведения матриц.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Собственные числа и собственные столбцы матрицы.
- •Характеристический многочлен.
- •Собственные числа вещественной симметричной матрицы.
- •Теорема Гамильтона-Кэли.
- •Тема 4. Системы линейных уравнений
- •Системы линейных уравнений, их типы.
- •Теорема Крамера.
- •Ранг матрицы.
- •Элементарные преобразования матриц.
- •Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
- •Метод Гаусса.
- •Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Теорема о числе решений системы линейных уравнений.
- •Однородные системы линейных уравнений. Общее решение однородной линейной системы.
- •Линейная комбинация решений, фундаментальная система решений.
- •Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной системы линейных уравнений.
- •Тема 5. Квадратичные формы
- •Квадратичная форма, ее матрица, матричная запись квадратичной формы.
- •Тема 6. Алгебра векторов
- •Геометрический вектор, модуль вектора, коллинеарные и компланарные вектора.
- •Свободные, скользящие и связанные вектора.
- •Сумма, разность векторов, произведение вектора на число. Свойства этих операций.
- •Угол между векторами.
- •Вычисление ортогональной проекции.
- •Ортогональная проекция суммы векторов и произведения вектора на число.
- •Линейная комбинация векторов, линейно независимые вектора. Условия линейной зависимости векторов.
- •Базис, разложение вектора по базису, координаты вектора.
- •Изменение координат при сложении векторов и умножении вектора на число, координаты коллинеарных векторов.
- •Ортогональный и ортонормированный базис, направляющие косинусы.
- •Скалярное произведение векторов. Ортогональные вектора, скалярный квадрат.
- •Свойства скалярного произведения, вычисление скалярного произведения через координаты вектора.
- •Правая тройка векторов.
- •Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
- •Вычисление векторного произведения в координатах.
- •Тема 7. Метод координат
- •Декартова система координат.
- •Тема 8. Прямая и плоскость
- •Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Прямая на плоскости и алгебраическая кривая первого порядка. Общее уравнение прямой.
- •Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Угол между прямыми.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве и алгебраическая поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости.
- •Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой.
- •Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Угол между плоскостями.
- •Угол между прямыми в пространстве.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Взаимное расположение прямых в пространстве (канонические и общие уравнения).
- •Взаимное расположение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между прямой и плоскостью.
Расстояние от точки до прямой.
Если прямая задана уравнением [r – r0, a] = 0, то мы можем найти расстояние h от точки М с радиус-вектором R до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах R – r0 и а, на длину его основания. Результат запишем формулой:
.
Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.
Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ах+Ву+С=0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть М0(х0, у0) – начальная точка прямой, а М(X, Y) – некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор а(-В, А). Из формулы S=|α1β2 – α2β1| следует, что площадь параллелограмма равна S=|(X – x0)A – (Y – y0)(-B)|. Тогда по формуле:
, S = |AX + BY + C| и
Легко заметить также, что при нахождении расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой , считая, что n – нормальный вектор прямой.
Расстоянии между прямыми (расстояние между непараллельными прямыми).
П усть прямые p и q не параллельны. Известно, что в этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q, что прямая p лежит в P, а прямая q лежит в Q. (Если уравнения прямой прямых r - r1 = ta1 и r - r2 = ta2 , то плоскость имеет начальную точку r1 и направляющие векторы a1 и a2. Аналогично стоится плоскость Q). Расстояние h между плоскостями P и Q называется расстоянием между прямыми p и q. Если p и q пересекаются, то P и Q совпадают и h=0.
Для того чтобы вычислить расстояние h, проще всего разделить объём параллелепипеда, натянутого на векторы r2 - r1, a1 и a2, на площадь его основания (рисунок). Мы получим:
Знаменатель этого выражения отличен от нуля, поскольку прямые не параллельны.
Предложение 1. Прямые линии с уравнениями r = r1 + a1t и r = r2 + a2t пересекаются тогда и только тогда, когда h = 0, т. е. (r2 - r1, a1, a2) = 0 [a1, a2] ≠ 0.
Расстояние между прямой и плоскостью.