14. Определители -го порядка. (определители высших порядков)

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице nn, называется число:

Основные методы вычисления определителей:

1. Метод понижения порядка определителя основан на соотношении: (1)

где называется алгебраическим дополнением элемента -го. Минором элемента -го называется определитель n-1 порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Соотношение (1) называется разложением определителя по i-той строке. Аналогично можно записать и разложение определителя по столбцу:

Теорема: Для любой квадратной матрицы имеет место равенство ,

где и – символ Кронекера

2. Метод приведения к треугольному виду основан на седьмом свойстве определителей.

Пример: Вычислить определитель: Вычтем первую строку из всех остальных.

3. Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель через определитель того же вида, но более низкого порядка.

15. Перестановки, инверсии.

Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке, называется перестановкой из n символов (чисел).

Общий вид перестановки: .

Ни одно из не встречается в перестановке дважды.

Перестановка называется четной, если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае.

Числа k и р в перестановке составляют инверсию (беспорядок), если k > р, но k стоит в этой перестановке перед р.

16. Три свойства перестановок.

Свойство 1: Число различных перестановок равно ( , читается: «n факториал»).

Доказательство. Число перестановок совпадает с числом способов, которыми можно составить различные перестановки. При составлении перестановок в качестве j₁ можно взять любое из чисел 1, 2, …, n, что дает n возможностей. Если j₁ уже выбрано, то в качестве j₂ можно взять одно из оставшихся n – 1 чисел, и число способов, которыми можно выбрать j₁ и j₂ будет равно и т.д. Последнее число в перестановке можно выбрать только одним способом, что дает способов, а значит, и перестановок.

Свойство 2: Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство. Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид (..., k, p, ...), здесь многоточием (...) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (..., p, k,...). В этих перестановках каждое из чисел k, р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р), то в новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну; если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.

Свойство 3: при перестановке определитель меняет знак.

17. Свойства определителей: определитель транспонированной матрицы, перемена местами строк в определителе, определитель матрицы с одинаковыми строками.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

=

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0:

Доказательство: