8. Математическое ожидание случайной величины (определение и свойства).

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X принимает n возможных значений. Тогда её математическое ожидание M(X) равно

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл ,

Свойства М(х).

1)Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(с)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Определение: Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные6 значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение: Определим произведение независимых случайных величин X и Y как случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y, а вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

3)Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Определение: Суммой случайных величин X и Y называют случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X+Y для независимых величин X иY равны произведениям вероятности слагаемых, для зависимых величин- произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

9. Отклонение случайной величины (определение и свойства).

Отклонением случайной величины X называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: Х - М (Х).

Математическое ожидание отклонения равно нулю.

10. Дисперсия случайной величины (определение и свойства). Среднеквадратическое отклонение случайной величины (определение и свойства).

Дисперсия случайной величины – это характеристика рассеивания значений случайной величины около её математического ожидания, определяемая по формуле ,

то есть дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины имеем: .

Дисперсию часто вычисляют по формуле

- дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания.

Свойства:

1)Дисперсия любой неотрицательной величины не отрицательна

2) Дисперсия постоянной равна нулю

3) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,возводя его в квадрат

4)Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме этих дисперсий

Среднеквадратическое отклонение случайной величины:

Является характеристикой рассеяния и имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Свойства:

Среднеквадратическое отклонение любой случайной величины не отрицательно

Среднеквадратическое отклонение равно нулю тогда и только тогда, когда х постоянно.