25. Цепь Маркова. Матрица вероятностей переходов. Однородная цепь Маркова. Предельные вероятности состояний. Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Марковский процесс - протекающий в системе случайный процесс, который обладает свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t= t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).
Наиболее простым процессом является цепь Маркова – марковский случайный процесс с дискретным временем и дискретным конечным множеством состояний.
Переходные матрицы обладают свойством:
- все их элементы неотрицательны;
- их суммы по строкам равны единице.
Матрицы с таким свойством называют стохастическими.
Матрицы переходов позволяют вычислить вероятность любой траектории цепи Маркова с помощью теоремы умножения вероятностей.
Для однородных цепей Маркова матрицы переходов не зависят от времени.
Марковский процесс называется однородным, если вероятности перехода за единицу времени не зависят от того, где на оси времени происходит переход.
Пределы вероятностей р1(m), р2(m),…, рn(m) при m→∞, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний.
Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.
-примеры: выход из строя любого элемента аппаратуры может произойти в любой момент времени, окончание ремонта этого элемента также может произойти в произвольный момент и т.д.
Для описания таких процессов может быть применена схема Марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Для вероятностей состояний p(t) такого процесса выполнено:
,
т.к. в момент времени t система находится в одном из своих состояний.
В случае процесса с непрерывным временем, вероятность перехода системы из состояния в состояние точно в момент t будет равна нулю так же, как вероятность любого отдельного значения случайной непрерывной величины. Поэтому вместо переходных вероятностей pij рассматривают плотности вероятностей перехода.
26. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора.
Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.
Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы выборка правильно представляла пропорции генеральной совокупности. Это требование кратко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).
Способы отбора.
Принципиально делятся на два вида:
Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся:
а) простой случайный бесповторный отбор;
б) простой случайный повторный отбор (объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности).
Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:
а) типический отбор;
б) механический отбор;
в) серийный отбор.
На практике часто применяют комбинированный отбор.