23. Предельные теоремы теории вероятностей.
Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и её использование в математической статистике.
Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.
Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила названиезакона больших чисел, а другая — центральной предельной теоремы.
Рассмотрим теоремы, относящих к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.
Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.
Неравенство Чебышева
Если
случайная величина 
имеет
конечное математическое ожидание и
дисперсию, то для любого положительного
числа 
справедливо
неравенство
то есть вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит и больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату .
Запишем
вероятность события 
,
то есть события, противоположного
событию 
.
Очевидно, что
Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину больше . Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности также уменьшается, и значения случайной величины с небольшой дисперсией сосредотачиваются около её математического ожидания
Теорема Бернулли
Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.
При
достаточно большом числе независимых
испытаний 
с
вероятностью, близкой к единице, можно
утверждать, что разность между
относительной частой появления
события 
в
этих испытаниях е го вероятностью в
отдельном испытании по абсолютной
величине окажется меньше сколь угодно
малого числа
,
если вероятность наступления этого
события в каждом испытании постоянна
и равна 
.
Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства
где 
—
любые сколь угодно малые положительные
числа.
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также неравенство Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде
При решение практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от её ожидаемого значения. В этом случае случайной величиной является число появления события в независимых испытаниях. Имеем
Используя неравенство Чебышева, получаем
(следующую я думаю не надо писать)